Страница 64 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

224. Найдите радиус шара, вписанного в цилиндр, если диаметр его основания равен 14 см.

224. Найдите радиус шара, вписанного в цилиндр, если диаметр его основания равен 14 см.

Если шар вписан в цилиндр, это означает, что он касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности.

Из этого следует, что диаметр шара равен диаметру основания цилиндра, а также высоте цилиндра.

Пусть $R_{шара}$ - радиус шара, а $D_{цил}$ - диаметр основания цилиндра.

Диаметр шара $D_{шара}$ равен диаметру основания цилиндра $D_{цил}$.

По условию задачи, $D_{цил} = 14$ см.

Следовательно, $D_{шара} = 14$ см.

Радиус шара равен половине его диаметра:

$R_{шара} = \frac{D_{шара}}{2}$

Подставим значение диаметра:

$R_{шара} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

225. Радиус основания конуса равен 8 см, а его образующая — 17 см. Найдите радиус шара, вписанного в конус.

225. Радиус основания конуса равен 8 см, а его образующая — 17 см. Найдите радиус шара, вписанного в конус.

Для нахождения радиуса шара, вписанного в конус, рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а осевым сечением вписанного шара — окружность, вписанная в этот треугольник. Радиус этой окружности и есть искомый радиус шара.

Обозначим:

• $R$ — радиус основания конуса, $R = 8$ см.
• $l$ — образующая конуса, $l = 17$ см.
• $H$ — высота конуса.
• $r$ — радиус вписанного шара.

Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. По теореме Пифагора найдем высоту конуса:

$H^2 + R^2 = l^2$

$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Рассмотрим осевое сечение — равнобедренный треугольник $ABC$ с высотой $AD = H = 15$ см, основанием $BC = 2R = 16$ см и боковыми сторонами $AB = AC = l = 17$ см. Центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $AD$.

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти, используя метод подобных треугольников. Проведем из центра $O$ радиус $OE$ к боковой стороне $AC$. Так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания, то $OE \perp AC$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ (образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей) и $\triangle AEO$ (образованный отрезком $AO$, радиусом вписанной окружности $OE$ и отрезком образующей $AE$).

Эти треугольники подобны по острому углу ($\angle CAD$ — общий).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{OE}{DC} = \frac{AO}{AC}$

Где:

• $OE = r$ (радиус вписанного шара)
• $DC = R = 8$ см
• $AC = l = 17$ см
• $AO = AD - OD = H - r = 15 - r$

Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{r}{8} = \frac{15 - r}{17}$

Решим это уравнение относительно $r$:

$17r = 8(15 - r)$

$17r = 120 - 8r$

$17r + 8r = 120$

$25r = 120$

$r = \frac{120}{25} = \frac{24}{5} = 4.8$ см.

Ответ: 4,8 см.

226. Радиус основания конуса равен $R$, а угол при вершине его осевого сечения равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, вписанного в конус.

226. Радиус основания конуса равен $R$, а угол при вершине его осевого сечения равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, вписанного в конус.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Шар, вписанный в конус, в этом сечении будет выглядеть как окружность, вписанная в этот треугольник. Так как осевое сечение проходит через центр шара, то эта окружность является большим кругом шара. Наша задача — найти площадь этого круга.

Пусть $r$ — радиус вписанного шара (и, соответственно, радиус большого круга), $R$ — радиус основания конуса, а $\alpha$ — угол при вершине осевого сечения.

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник. Проведем в нем высоту из вершины, которая также является биссектрисой и медианой. Эта высота лежит на оси конуса. Она делит осевое сечение на два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его катеты — это высота конуса $H$ и радиус основания $R$. Угол, противолежащий катету $R$, равен половине угла при вершине, то есть $\frac{\alpha}{2}$. Угол при основании конуса (в осевом сечении) будет равен $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Центр вписанной в конус сферы лежит на его оси (на высоте осевого сечения). Этот центр является точкой пересечения биссектрис углов осевого сечения. Рассмотрим биссектрису угла при основании. Она делит угол $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ пополам.

Образуется новый прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания конуса $R$ и радиус вписанного шара $r$. Угол, противолежащий катету $r$, равен половине угла при основании осевого сечения: $\frac{1}{2} \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Из соотношения сторон в этом прямоугольном треугольнике имеем: $\tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right) = \frac{r}{R}$.

Отсюда выражаем радиус вписанного шара $r$: $r = R \cdot \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)$.

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим найденное выражение для $r$: $S = \pi \left(R \cdot \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)\right)^2 = \pi R^2 \tan^2\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)$.

Ответ: $S = \pi R^2 \tan^2\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)$.

227. Высота конуса равна 18 см, а радиус вписанного в него шара – 8 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

227. Высота конуса равна 18 см, а радиус вписанного в него шара — 8 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Пусть $H$ — высота конуса, $R$ — радиус его основания, $L$ — образующая конуса, а $r$ — радиус вписанного в него шара.

По условию задачи дано:
Высота конуса $H = 18$ см.
Радиус вписанного шара $r = 8$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi R L$
Для нахождения площади нам необходимо определить значения $R$ и $L$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. В этот треугольник вписана окружность, являющаяся сечением вписанного шара. Высота этого треугольника равна высоте конуса $H$, а радиус вписанной окружности равен радиусу шара $r$.

Пусть осевое сечение — это треугольник $\triangle ASB$ с вершиной $S$ и основанием $AB$, которое является диаметром основания конуса. $SO$ — высота конуса, где $O$ — центр основания. Тогда $SO = H = 18$ см, $AO = R$, $AS = L$. Центр вписанного шара $C$ лежит на высоте $SO$.

Расстояние от центра вписанного шара до основания конуса равно его радиусу, то есть $CO = r = 8$ см.Расстояние от вершины конуса до центра шара будет:
$SC = SO - CO = H - r = 18 - 8 = 10$ см.

Проведем из центра шара $C$ радиус $CK$ к точке касания с образующей $AS$. Тогда $CK \perp AS$ и $CK = r = 8$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle SOA$ (образован высотой, радиусом и образующей конуса) и $\triangle SKC$ (образован отрезком $SC$, радиусом $CK$ и частью образующей $SK$). Эти треугольники подобны, так как у них есть общий острый угол при вершине $S$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SKC$ известны гипотенуза $SC = 10$ см и катет $CK = 8$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $SK$:
$SK = \sqrt{SC^2 - CK^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Из подобия треугольников $\triangle SKC \sim \triangle SOA$ следует соотношение их сторон:
$\frac{CK}{OA} = \frac{SK}{SO} = \frac{SC}{AS}$

Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{8}{R} = \frac{6}{18} = \frac{10}{L}$

Из соотношения $\frac{8}{R} = \frac{6}{18}$ найдем радиус основания конуса $R$:
$\frac{8}{R} = \frac{1}{3} \implies R = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Из соотношения $\frac{10}{L} = \frac{6}{18}$ найдем образующую конуса $L$:
$\frac{10}{L} = \frac{1}{3} \implies L = 10 \cdot 3 = 30$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 24 \cdot 30 = 720\pi$ см$^2$.

Ответ: $720\pi$ см$^2$.

228. Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен $\alpha$, а радиус вписанного в конус шара равен $r$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

228. Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен $\alpha$, а радиус вписанного в конус шара равен $r$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Пусть его основание равно $2R$ (диаметр основания конуса), а высота равна $H$ (высота конуса). Площадь этого треугольника (осевого сечения) $S$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$

Угол $\alpha$ между образующей и плоскостью основания конуса — это угол при основании равнобедренного треугольника осевого сечения. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей, эти величины связаны соотношением:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$

Отсюда можно выразить высоту: $H = R \tan(\alpha)$.

В осевом сечении вписанный в конус шар является кругом, вписанным в равнобедренный треугольник. Радиус этого круга равен радиусу шара $r$. Центр вписанного круга лежит на высоте треугольника (оси конуса) и является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания $R$, отрезком высоты от основания до центра вписанного шара (равным $r$) и биссектрисой угла $\alpha$. Угол в этом треугольнике, прилежащий к катету $R$, будет равен $\frac{\alpha}{2}$. Таким образом, мы можем записать:

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{R}$

Из этого соотношения выразим радиус основания конуса $R$ через радиус вписанного шара $r$ и угол $\alpha$:

$R = \frac{r}{\tan(\alpha/2)} = r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь, зная $R$, мы можем найти высоту конуса $H$:

$H = R \tan(\alpha) = r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$

Наконец, подставим найденные выражения для $R$ и $H$ в формулу для площади осевого сечения:

$S = R \cdot H = \left(r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)\right)$

$S = r^2 \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$

Ответ: $r^2 \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$

229. В конус, радиус основания которого равен 20 см, а высота — 15 см, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

229. В конус, радиус основания которого равен 20 см, а высота — 15 см, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

Линия, по которой вписанная сфера касается боковой поверхности конуса, является окружностью. Для нахождения ее длины необходимо определить ее радиус. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник, и вписанную в него окружность, которая является сечением сферы.

Пусть $R$ — радиус основания конуса и $H$ — его высота. По условию, $R = 20$ см и $H = 15$ см.

1. Найдем длину образующей конуса ($L$). Образующая, высота и радиус основания конуса образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$ см.

2. Найдем радиус окружности касания ($r_k$). Рассмотрим осевое сечение: равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $A$ (вершина конуса), высотой $AO = H$ и основанием $BC = 2R$. Образующая $AC = L = 25$ см. Вписанная окружность (сечение сферы) касается стороны $AC$ в точке $K$.

Радиус искомой окружности касания $r_k$ — это расстояние от точки касания $K$ до оси конуса $AO$. Проведем перпендикуляр $KP$ из точки $K$ на ось $AO$. Тогда $r_k = KP$.

Прямоугольные треугольники $\triangle APK$ (с прямым углом $P$) и $\triangle AOC$ (с прямым углом $O$) подобны по общему острому углу $\angle CAO$.

Из подобия следует отношение сторон: $\frac{KP}{OC} = \frac{AK}{AC}$

Отсюда $r_k = KP = OC \cdot \frac{AK}{AC} = R \cdot \frac{AK}{L}$.

Длина отрезка $AK$ — это длина касательной, проведенной из вершины $A$ к вписанной окружности. Она равна разности образующей $L$ и радиуса основания $R$ (так как длина касательной из вершины $C$ к вписанной окружности равна отрезку $CO=R$). $AK = AC - KC = L - R = 25 - 20 = 5$ см.

Подставим известные значения в формулу для $r_k$: $r_k = 20 \cdot \frac{5}{25} = 20 \cdot \frac{1}{5} = 4$ см.

3. Найдем длину линии касания ($C$). Длина линии касания — это длина окружности с радиусом $r_k$: $C = 2 \pi r_k = 2 \pi \cdot 4 = 8\pi$ см.

Ответ: $8\pi$ см.

230. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 9 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и образующую усечённого конуса.

230. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 9 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и образующую усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, в который вписан шар. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность (сечение шара). Пусть $R$ и $r$ — радиусы оснований усечённого конуса, $l$ — его образующая, а $r_{ш}$ — радиус вписанного шара. По условию $R = 9$ см, $r = 4$ см.

Найти образующую усечённого конуса

Основаниями равнобокой трапеции являются диаметры оснований конуса, то есть $2R$ и $2r$. Боковые стороны трапеции равны образующей $l$. Так как в трапецию вписана окружность, она является описанным четырёхугольником. Основное свойство описанного четырёхугольника заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Следовательно, сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон: $2R + 2r = l + l$ $2(R+r) = 2l$ Отсюда получаем формулу для образующей: $l = R+r$ Подставим заданные значения радиусов: $l = 9 + 4 = 13$ см.
Ответ: образующая усечённого конуса равна 13 см.

Найти радиус шара

Высота усечённого конуса $h$ равна высоте трапеции, а также диаметру вписанного шара, то есть $h = 2r_{ш}$. Для нахождения высоты $h$ проведём её из вершины меньшего основания к большему. В результате образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая $l$, одним катетом — высота $h$, а вторым катетом — отрезок, равный полуразности длин оснований трапеции, то есть $\frac{2R - 2r}{2} = R-r$. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$ Мы уже установили, что $l = R+r$. Подставим это выражение в уравнение: $(R+r)^2 = h^2 + (R-r)^2$ Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $R^2 + 2Rr + r^2 = h^2 + R^2 - 2Rr + r^2$ Сократим одинаковые члены в обеих частях уравнения: $2Rr = h^2 - 2Rr$ $h^2 = 4Rr$ $h = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$ Так как высота конуса равна диаметру шара ($h = 2r_{ш}$), имеем: $2r_{ш} = 2\sqrt{Rr}$ $r_{ш} = \sqrt{Rr}$ Подставим значения $R=9$ см и $r=4$ см в полученную формулу: $r_{ш} = \sqrt{9 \cdot 4} = \sqrt{36} = 6$ см.
Ответ: радиус шара равен 6 см.

231. Радиус шара, вписанного в усечённый конус, равен 6 см, а диаметр одного из оснований усечённого кону- са на 10 см больше диаметра другого основания. Най- дите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

231. Радиус шара, вписанного в усечённый конус, равен 6 см, а диаметр одного из оснований усечённого конуса на 10 см больше диаметра другого основания. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Обозначим радиус вписанного шара как $r$, радиусы оснований усечённого конуса как $R_1$ и $R_2$ (где $R_1$ – радиус большего основания), образующую – как $l$, а высоту – как $H$.

По условию, радиус вписанного шара $r = 6$ см. Для усечённого конуса, в который вписан шар, высота конуса равна диаметру шара: $H = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Также по условию, диаметр одного основания на 10 см больше диаметра другого. Запишем это через радиусы: $D_1 - D_2 = 10$ см $2R_1 - 2R_2 = 10$ см $R_1 - R_2 = 5$ см.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобокая трапеция, в которую вписана окружность (сечение шара). Проведём в этой трапеции высоту из вершины меньшего основания к большему. Мы получим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота конуса $H$ и разность радиусов $R_1 - R_2$, а гипотенузой – образующая $l$.

По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + (R_1 - R_2)^2$ Подставим известные значения: $l^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ $l = \sqrt{169} = 13$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса находится по формуле: $S_{бок} = \pi (R_1 + R_2) l$

Ключевым свойством усечённого конуса, в который можно вписать шар, является то, что сумма радиусов его оснований равна его образующей. Это следует из свойства описанной около окружности равнобокой трапеции (осевого сечения), у которой сумма оснований равна сумме боковых сторон: $2R_1 + 2R_2 = l + l$ $2(R_1 + R_2) = 2l$ $R_1 + R_2 = l$

Так как мы нашли, что $l = 13$ см, то и $R_1 + R_2 = 13$ см.

Теперь подставим найденные значения в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = \pi \cdot (R_1 + R_2) \cdot l = \pi \cdot 13 \cdot 13 = 169\pi$ см².

Ответ: $169\pi$ см².

232. В усечённый конус вписан шар радиуса $R$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса, если угол между его образующей и плоскостью большего основания равен $\beta$.

232. В усечённый конус вписан шар радиуса $R$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса, если угол между его образующей и плоскостью большего основания равен $\beta$.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Поскольку в конус вписан шар радиуса $R$, в его осевое сечение (трапецию) будет вписана окружность того же радиуса $R$. Эта окружность является большим кругом вписанного шара.

Высота $h$ равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. Следовательно, высота осевого сечения равна:

$h = 2R$

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции. Подставляя значение высоты $h$, получаем:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot 2R = (a+b)R$

Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, справедливо свойство: суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей равнобедренной трапеции, где боковые стороны (образующие конуса) равны $l$, это свойство выглядит так:

$a+b = l+l = 2l$

Теперь мы можем выразить площадь сечения через длину образующей $l$ и радиус $R$:

$S = 2lR$

По условию, угол между образующей и плоскостью большего основания равен $\beta$. В осевом сечении это угол между боковой стороной $l$ и большим основанием. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $h$, образующей $l$ (в качестве гипотенузы) и проекцией образующей на большее основание. Угол, противолежащий катету $h$, равен $\beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\beta) = \frac{h}{l}$

Выразим отсюда образующую $l$:

$l = \frac{h}{\sin(\beta)}$

Так как $h = 2R$, получаем:

$l = \frac{2R}{\sin(\beta)}$

Наконец, подставим это выражение для $l$ в формулу площади сечения $S = 2lR$:

$S = 2 \cdot \left(\frac{2R}{\sin(\beta)}\right) \cdot R = \frac{4R^2}{\sin(\beta)}$

Ответ: $\frac{4R^2}{\sin(\beta)}$

233. Каждое ребро прямого параллелепипеда равно 8 см, а острый угол основания — $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

233. Каждое ребро прямого параллелепипеда равно 8 см, а острый угол основания — $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объём прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота.

Согласно условию, параллелепипед является прямым. Это значит, что его боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, и высота параллелепипеда $h$ равна длине бокового ребра. Так как все рёбра равны 8 см, то $h = 8$ см.

В основании параллелепипеда лежит параллелограмм. Поскольку все рёбра равны 8 см, то стороны этого параллелограмма также равны по 8 см. Следовательно, основание представляет собой ромб со стороной $a = 8$ см. Острый угол этого ромба, по условию, равен $\alpha = 60^\circ$.

Площадь ромба вычисляется по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$. Подставим известные значения:

$S_{осн} = 8^2 \cdot \sin(60^\circ) = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$ см².

Теперь, зная площадь основания и высоту, найдём объём параллелепипеда:

$V = S_{осн} \cdot h = 32\sqrt{3} \cdot 8 = 256\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $256\sqrt{3}$ см³.