Страница 70 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

278. Объем усеченной пирамиды равен $210 \text{ см}^3$, ее высота — $18 \text{ см}$, а площади оснований относятся как $1 : 4$. Найдите площадь большего основания.

278. Объём усечённой пирамиды равен 210 см³, её высота — 18 см, а площади оснований относятся как 1 : 4. Найдите площадь большего основания.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $V$ – объём, $h$ – высота, а $S_1$ и $S_2$ – площади оснований.

Из условия задачи нам дано:

$V = 210$ см³

$h = 18$ см

Отношение площадей оснований равно $1 : 4$. Обозначим площадь меньшего основания как $S_1$, а большего – как $S_2$. Тогда $S_1 : S_2 = 1 : 4$, откуда можно выразить $S_2 = 4S_1$. Также можно ввести коэффициент пропорциональности $x$, тогда $S_1 = x$ и $S_2 = 4x$.

Подставим известные значения и выражения для площадей в формулу объёма:

$210 = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot (x + 4x + \sqrt{x \cdot 4x})$

Упростим полученное уравнение:

$210 = 6 \cdot (5x + \sqrt{4x^2})$

Так как площадь $x$ является положительной величиной, $\sqrt{4x^2} = 2x$.

$210 = 6 \cdot (5x + 2x)$

$210 = 6 \cdot 7x$

$210 = 42x$

Найдём значение $x$, которое равно площади меньшего основания $S_1$:

$x = \frac{210}{42} = 5$

Итак, площадь меньшего основания $S_1 = 5$ см².

Теперь найдём площадь большего основания $S_2$:

$S_2 = 4x = 4 \cdot 5 = 20$ см².

Ответ: 20 см²

279. Высота правильной треугольной пирамиды равна 10 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 6 см и 3 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

279. Высота правильной треугольной пирамиды равна 10 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 6 см и 3 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

1. Найдём площади оснований.

Основаниями являются правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь большего основания ($S_1$) со стороной $a_1 = 6$ см:

$S_1 = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Площадь меньшего основания ($S_2$) со стороной $a_2 = 3$ см:

$S_2 = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².

2. Найдём высоту усечённой пирамиды.

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной. Коэффициент подобия $k$ равен отношению сторон оснований:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Отношение высот подобных пирамид также равно коэффициенту подобия. Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, а $H_{отс}$ — высота отсечённой (малой) пирамиды.

$H = 10$ см.

$\frac{H_{отс}}{H} = k \Rightarrow H_{отс} = H \cdot k = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Высота усечённой пирамиды $h$ — это разность высот исходной и отсечённой пирамид:

$h = H - H_{отс} = 10 - 5 = 5$ см.

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $h, S_1$ и $S_2$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \left(9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \sqrt{9\sqrt{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}}\right)$

Сначала вычислим корень:

$\sqrt{9\sqrt{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{4}} = \sqrt{\frac{243}{4}} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$V = \frac{5}{3} \cdot \left(9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{2}\right)$

Вынесем $9\sqrt{3}$ за скобки:

$V = \frac{5}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right)$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{7}{4}$

Выполним окончательное вычисление:

$V = \frac{5 \cdot 9\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{7}{4} = 5 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{7}{4} = 15\sqrt{3} \cdot \frac{7}{4} = \frac{105\sqrt{3}}{4}$ см³.

Ответ: $\frac{105\sqrt{3}}{4}$ см³.

280. Основания усечённой пирамиды — равнобедренные треугольники со сторонами 5 см, 5 см, 6 см и 10 см, 10 см, 12 см соответственно. Каждое боковое ребро усечённой пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $45^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

280. Основания усечённой пирамиды — равнобедренные треугольники со сторонами 5 см, 5 см, 6 см и 10 см, 10 см, 12 см соответственно. Каждое боковое ребро усечённой пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $45^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды используется формула:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $H$ – высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади её большего и меньшего оснований соответственно.

1. Найдём площади оснований $S_1$ и $S_2$.

Оба основания являются равнобедренными треугольниками. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – основание, $h$ – высота.

Для большего основания со сторонами 10 см, 10 см и 12 см:

Найдём высоту $h_1$, проведённую к стороне 12 см. По теореме Пифагора:

$h_1 = \sqrt{10^2 - (12/2)^2} = \sqrt{100 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь большего основания:

$S_1 = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$ см².

Для меньшего основания со сторонами 5 см, 5 см и 6 см:

Найдём высоту $h_2$, проведённую к стороне 6 см:

$h_2 = \sqrt{5^2 - (6/2)^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Площадь меньшего основания:

$S_2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ см².

2. Найдём высоту усечённой пирамиды $H$.

По условию, каждое боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $45^{\circ}$. Это свойство означает, что вершина полной пирамиды (из которой была получена усечённая) проектируется в центр описанной окружности основания. Следовательно, высота усечённой пирамиды $H$ соединяет центры описанных окружностей её оснований.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через боковое ребро и центры описанных окружностей. В этом сечении высота $H$ и разность радиусов описанных окружностей оснований ($R_1 - R_2$) образуют катеты прямоугольного треугольника. Боковое ребро является гипотенузой, а угол между ним и катетом ($R_1 - R_2$) равен $45^{\circ}$. В таком прямоугольном треугольнике катеты равны, поэтому:

$H = R_1 - R_2$

Найдём радиусы описанных окружностей по формуле $R = \frac{abc}{4S}$:

Радиус для большего основания:

$R_1 = \frac{10 \times 10 \times 12}{4 \times S_1} = \frac{1200}{4 \times 48} = \frac{1200}{192} = \frac{25}{4}$ см.

Радиус для меньшего основания:

$R_2 = \frac{5 \times 5 \times 6}{4 \times S_2} = \frac{150}{4 \times 12} = \frac{150}{48} = \frac{25}{8}$ см.

Теперь можем найти высоту $H$:

$H = R_1 - R_2 = \frac{25}{4} - \frac{25}{8} = \frac{50}{8} - \frac{25}{8} = \frac{25}{8}$ см.

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $S_1 = 48$, $S_2 = 12$ и $H = \frac{25}{8}$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \times \frac{25}{8} \times (48 + 12 + \sqrt{48 \times 12})$

$V = \frac{25}{24} \times (60 + \sqrt{576}) = \frac{25}{24} \times (60 + 24) = \frac{25}{24} \times 84$

Сократим дробь:

$V = \frac{25 \times 84}{24} = \frac{25 \times (12 \times 7)}{12 \times 2} = \frac{25 \times 7}{2} = \frac{175}{2} = 87.5$ см³.

Ответ: $87.5$ см³.

281. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а высота — 3 см. Найдите объём цилиндра.

281. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а высота — 3 см. Найдите объём цилиндра.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot H = \pi R^2 H$

где $V$ — объём, $S_{осн}$ — площадь основания, $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

Согласно условию, радиус основания $R = 6$ см, а высота $H = 3$ см.

Подставим данные значения в формулу:

$V = \pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 3 \text{ см} = \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 108\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $108\pi \text{ см}^3$.

282. Высота цилиндра равна 4 см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём цилиндра.

282. Высота цилиндра равна 4 см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём цилиндра.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

Из условия задачи нам известна высота цилиндра: $h = 4$ см.

Осевое сечение цилиндра является прямоугольником, стороны которого — это высота цилиндра $h$ и диаметр его основания $d$. Диагональ этого сечения, высота и диаметр образуют прямоугольный треугольник.

Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания — это угол между самой диагональю и диаметром основания. В нашем прямоугольном треугольнике этот угол равен $30^\circ$, высота $h$ является противолежащим катетом, а диаметр $d$ — прилежащим.

Используя определение тангенса, мы можем связать эти величины:

$\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{d}$

Подставим известные значения ($h = 4$ см и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$):

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{d}$

Отсюда найдем диаметр основания:

$d = 4 \sqrt{3}$ см.

Радиус основания $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить объём цилиндра:

$V = \pi R^2 h = \pi (2\sqrt{3})^2 \cdot 4$

$V = \pi (4 \cdot 3) \cdot 4 = \pi \cdot 12 \cdot 4 = 48\pi$ см³.

Ответ: $48\pi$ см³.

283. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 14 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз меньше диаметра первого?

283. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 14 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз меньше диаметра первого?

Обозначим параметры первого цилиндрического сосуда индексом 1, а второго — индексом 2.

Пусть $V_1$ и $V_2$ — объемы жидкости в первом и втором сосудах, $h_1$ и $h_2$ — уровни (высоты) жидкости, а $d_1$ и $d_2$ — диаметры оснований сосудов.

По условию задачи, уровень жидкости в первом сосуде $h_1 = 14$ см. Диаметр второго сосуда в 5 раз меньше диаметра первого, что можно записать как $d_2 = \frac{d_1}{5}$.

Объем жидкости, занимающей часть цилиндра, вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания цилиндра, а $h$ — высота уровня жидкости.

Площадь основания цилиндра (круга) зависит от его диаметра $d$ и вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Тогда объем жидкости в первом сосуде равен: $V_1 = S_1 \cdot h_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1$.

Когда жидкость переливают во второй сосуд, ее объем не меняется ($V_2 = V_1$), но высота уровня жидкости $h_2$ становится другой. Объем жидкости во втором сосуде: $V_2 = S_2 \cdot h_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$.

Приравняем объемы: $V_1 = V_2$ $\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$.

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{\pi}{4}$: $d_1^2 \cdot h_1 = d_2^2 \cdot h_2$.

Теперь подставим в это равенство известное соотношение диаметров $d_2 = \frac{d_1}{5}$: $d_1^2 \cdot h_1 = \left(\frac{d_1}{5}\right)^2 \cdot h_2$.

Возведем в квадрат: $d_1^2 \cdot h_1 = \frac{d_1^2}{25} \cdot h_2$.

Сократим обе части на $d_1^2$ (так как диаметр сосуда не может быть равен нулю): $h_1 = \frac{h_2}{25}$.

Из этого соотношения выразим искомую высоту $h_2$: $h_2 = 25 \cdot h_1$.

Подставим известное значение высоты в первом сосуде $h_1 = 14$ см: $h_2 = 25 \cdot 14 = 350$ см.

Ответ: 350 см.

284. Радиус основания первого цилиндра в 2 раза больше радиуса основания второго, а высота первого цилиндра в 3 раза меньше высоты второго. Найдите отношение объёмов цилиндров.

284. Радиус основания первого цилиндра в 2 раза больше радиуса основания второго, а высота первого цилиндра в 3 раза меньше высоты второго. Найдите отношение объёмов цилиндров.

Для решения задачи воспользуемся формулой объема цилиндра: $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота.

Обозначим параметры первого цилиндра как $R_1$ и $H_1$, а второго — как $R_2$ и $H_2$. Тогда их объемы будут равны:
$V_1 = \pi R_1^2 H_1$
$V_2 = \pi R_2^2 H_2$

Из условия задачи известно, что радиус основания первого цилиндра в 2 раза больше радиуса второго, то есть:
$R_1 = 2 \cdot R_2$

Также известно, что высота первого цилиндра в 3 раза меньше высоты второго, то есть:
$H_1 = \frac{H_2}{3}$

Теперь найдем отношение объемов первого цилиндра ко второму ($\frac{V_1}{V_2}$). Для этого подставим выражения для $R_1$ и $H_1$ в формулу отношения объемов:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi R_1^2 H_1}{\pi R_2^2 H_2} = \frac{(2R_2)^2 \cdot (\frac{H_2}{3})}{R_2^2 H_2}$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{4R_2^2 \cdot H_2}{3 \cdot R_2^2 H_2}$

Сократив общие множители $R_2^2$ и $H_2$ в числителе и знаменателе, получим итоговый результат:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{4}{3}$

Ответ: отношение объема первого цилиндра к объему второго равно $\frac{4}{3}$.

285. Высота цилиндра равна $H$, а площадь его осевого сечения равна $S$. Найдите объём цилиндра.

285. Высота цилиндра равна $H$, а площадь его осевого сечения равна $S$. Найдите объём цилиндра.

Пусть $H$ – высота цилиндра, $R$ – радиус его основания.

Объём цилиндра $V$ находится по формуле:
$V = S_{осн} \cdot H = \pi R^2 H$

Осевое сечение цилиндра – это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра $H$, а другая – диаметру его основания $D = 2R$.

Площадь осевого сечения $S$ равна произведению его сторон:
$S = D \cdot H = 2R \cdot H$

Из этой формулы мы можем выразить радиус основания $R$ через известные величины $S$ и $H$:
$R = \frac{S}{2H}$

Теперь подставим это выражение для $R$ в формулу объёма цилиндра:
$V = \pi \left(\frac{S}{2H}\right)^2 H$

Выполним преобразования, чтобы найти окончательную формулу для объёма:
$V = \pi \frac{S^2}{4H^2} \cdot H = \frac{\pi S^2 H}{4H^2} = \frac{\pi S^2}{4H}$

Ответ: $V = \frac{\pi S^2}{4H}$

286. Прямоугольник, одна сторона которого равна 3 см, а диагональ $-$ $\sqrt{13}$ см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объём тела вращения.

286. Прямоугольник, одна сторона которого равна 3 см, а диагональ – $\sqrt{13}$ см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объём тела вращения.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$. По условию задачи, одна из сторон равна 3 см, а диагональ $d = \sqrt{13}$ см.

1. Найдем неизвестную сторону прямоугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов сторон прямоугольника равна квадрату его диагонали: $a^2 + b^2 = d^2$.
Пусть известная сторона $a = 3$ см. Подставим известные значения в формулу:
$3^2 + b^2 = (\sqrt{13})^2$
$9 + b^2 = 13$
$b^2 = 13 - 9$
$b^2 = 4$
$b = \sqrt{4} = 2$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 2 см и 3 см.

2. Определим параметры тела вращения. Вращение происходит вокруг меньшей стороны. Сравнивая стороны, находим, что меньшая сторона равна 2 см.
При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Высота этого цилиндра ($h$) будет равна стороне, вокруг которой происходит вращение, а радиус его основания ($r$) — другой стороне. Следовательно, для нашего тела вращения:
Высота $h = 2$ см (меньшая сторона).
Радиус $r = 3$ см (большая сторона).

3. Найдем объём полученного цилиндра. Формула для вычисления объёма цилиндра: $V = \pi r^2 h$.
Подставим значения высоты и радиуса:
$V = \pi \cdot (3 \text{ см})^2 \cdot 2 \text{ см}$
$V = \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см}$
$V = 18\pi$ см³.

Ответ: $18\pi$ см³.