Страница 76 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Точки $M$, $N$, $K$ и $P$ расположены в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 21. Расстояние от каждой из точек $M$, $N$, $K$ и $P$ до начала координат равно 7. Найдите координаты этих точек.

Рис. 21

Рис. 21

1. Точки $M$, $N$, $K$ и $P$ расположены в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 21. Расстояние от каждой из точек $M$, $N$, $K$ и $P$ до начала координат равно 7. Найдите координаты этих точек.

Расстояние от точки с координатами $(x, y, z)$ до начала координат $(0, 0, 0)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. По условию задачи, для каждой из точек $M, N, K$ и $P$ это расстояние равно 7. Следовательно, для координат каждой точки выполняется равенство $x^2 + y^2 + z^2 = 7^2 = 49$.

Координаты точки M

Точка $M$ расположена на положительной полуоси $Oy$. Это означает, что её координаты по осям $Ox$ и $Oz$ равны нулю, а координата по оси $Oy$ положительна. Таким образом, координаты точки $M$ имеют вид $(0, y_M, 0)$, где $y_M > 0$.

Подставим эти координаты в уравнение расстояния:

$0^2 + y_M^2 + 0^2 = 49$

$y_M^2 = 49$

Поскольку $y_M > 0$, получаем $y_M = 7$.

Ответ: $M(0, 7, 0)$.

Координаты точки K

Точка $K$ расположена на положительной полуоси $Oz$. Её координаты по осям $Ox$ и $Oy$ равны нулю, а координата по оси $Oz$ положительна. Координаты точки $K$ имеют вид $(0, 0, z_K)$, где $z_K > 0$.

Подставим эти координаты в уравнение расстояния:

$0^2 + 0^2 + z_K^2 = 49$

$z_K^2 = 49$

Поскольку $z_K > 0$, получаем $z_K = 7$.

Ответ: $K(0, 0, 7)$.

Координаты точки P

Точка $P$ расположена на отрицательной полуоси $Oz$. Её координаты по осям $Ox$ и $Oy$ равны нулю, а координата по оси $Oz$ отрицательна. Координаты точки $P$ имеют вид $(0, 0, z_P)$, где $z_P < 0$.

Подставим эти координаты в уравнение расстояния:

$0^2 + 0^2 + z_P^2 = 49$

$z_P^2 = 49$

Поскольку $z_P < 0$, получаем $z_P = -7$.

Ответ: $P(0, 0, -7)$.

Координаты точки N

Точка $N$ расположена в плоскости $yOz$ (так как её проекция на ось $Ox$ равна нулю) в четверти, где $y > 0$ и $z > 0$. Из рисунка видно, что точка $N$ лежит на биссектрисе угла между положительными полуосями $Oy$ и $Oz$. Для точек на этой биссектрисе выполняется условие $y = z$.

Таким образом, координаты точки $N$ имеют вид $(0, y_N, z_N)$, где $y_N = z_N > 0$.

Подставим эти координаты в уравнение расстояния:

$0^2 + y_N^2 + z_N^2 = 49$

$y_N^2 + y_N^2 = 49$

$2y_N^2 = 49$

$y_N^2 = \frac{49}{2}$

Поскольку $y_N > 0$, извлекаем квадратный корень: $y_N = \sqrt{\frac{49}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.

Так как $z_N = y_N$, то $z_N = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $N(0, \frac{7\sqrt{2}}{2}, \frac{7\sqrt{2}}{2})$.

2. Куб $OABCO_1A_1B_1C_1$ расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 22. Ребро куба равно 2. Найдите координаты вершин куба.

Рис. 22

2. Куб $OABCO_1A_1B_1C_1$ расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 22. Ребро куба равно 2. Найдите координаты вершин куба.

Рис. 22

Согласно условию задачи и рисунку, куб расположен в прямоугольной системе координат. Вершина $O$ куба находится в начале координат, а ребра $OA$, $OC$ и $OO_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Длина ребра куба равна 2. Найдем координаты каждой из восьми вершин куба.

Вершина O
Вершина $O$ совпадает с началом координат, поэтому ее координаты $(0; 0; 0)$.
Ответ: $O(0; 0; 0)$

Вершина A
Вершина $A$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии, равном длине ребра куба, от начала координат. Следовательно, ее координата по оси $x$ равна 2, а координаты по осям $y$ и $z$ равны 0.
Ответ: $A(2; 0; 0)$

Вершина C
Вершина $C$ лежит на оси $Oy$ на расстоянии 2 от начала координат. Ее координата по оси $y$ равна 2, а по осям $x$ и $z$ — 0.
Ответ: $C(0; 2; 0)$

Вершина O₁
Вершина $O_1$ (обозначена на рисунке) лежит на оси $Oz$ на расстоянии 2 от начала координат. Ее координата по оси $z$ равна 2, а по осям $x$ и $y$ — 0.
Ответ: $O_1(0; 0; 2)$

Вершина B
Вершина $B$ находится в плоскости $Oxy$ и является четвертой вершиной квадрата $OABC$. Ее координаты равны суммам соответствующих координат векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$. $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC} = (2; 0; 0) + (0; 2; 0) = (2; 2; 0)$.
Ответ: $B(2; 2; 0)$

Вершина A₁
Вершина $A_1$ находится в плоскости $Oxz$. Ее координаты можно найти как сумму координат векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OO_1}$. $\vec{OA_1} = \vec{OA} + \vec{OO_1} = (2; 0; 0) + (0; 0; 2) = (2; 0; 2)$.
Ответ: $A_1(2; 0; 2)$

Вершина C₁
Вершина $C_1$ находится в плоскости $Oyz$. Ее координаты можно найти как сумму координат векторов $\vec{OC}$ и $\vec{OO_1}$. $\vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{OO_1} = (0; 2; 0) + (0; 0; 2) = (0; 2; 2)$.
Ответ: $C_1(0; 2; 2)$

Вершина B₁
Вершина $B_1$ является вершиной, наиболее удаленной от начала координат. Ее координаты можно найти как сумму координат векторов $\vec{OA}$, $\vec{OC}$ и $\vec{OO_1}$. $\vec{OB_1} = \vec{OA} + \vec{OC} + \vec{OO_1} = (2; 0; 0) + (0; 2; 0) + (0; 0; 2) = (2; 2; 2)$.
Ответ: $B_1(2; 2; 2)$

3. Определите, лежит ли данная точка на координатной оси, и в случае утвердительного ответа укажите эту ось:

1) $M (-7; 0; 9)$;

2) $N (0; 8; -12)$;

3) $K (-23; 0; 0)$;

4) $P (0; 0; 101)$;

5) $Q (0; 14,7; 0)$;

6) $S (19; -36; 0)$.

3. Определите, лежит ли данная точка на координатной оси, и в случае утвердительного ответа укажите эту ось:

1) $M (-7; 0; 9)$;

2) $N (0; 8; -12)$;

3) $K (-23; 0; 0)$;

4) $P (0; 0; 101)$;

5) $Q (0; 14,7; 0)$;

6) $S (19; -36; 0)$.

Точка лежит на координатной оси, если две из ее трех координат равны нулю. Точка с координатами $(x; y; z)$ лежит:

• на оси абсцисс ($Ox$), если $y=0$ и $z=0$;
• на оси ординат ($Oy$), если $x=0$ и $z=0$;
• на оси аппликат ($Oz$), если $x=0$ и $y=0$.

1) M (–7; 0; 9);
У точки $M(-7; 0; 9)$ две координаты ($x=-7$ и $z=9$) отличны от нуля. Следовательно, точка не лежит на координатной оси. Она лежит в координатной плоскости $xOz$.
Ответ: нет, точка не лежит на координатной оси.

2) N (0; 8; –12);
У точки $N(0; 8; -12)$ две координаты ($y=8$ и $z=-12$) отличны от нуля. Следовательно, точка не лежит на координатной оси. Она лежит в координатной плоскости $yOz$.
Ответ: нет, точка не лежит на координатной оси.

3) K (–23; 0; 0);
У точки $K(-23; 0; 0)$ координаты $y$ и $z$ равны нулю, а координата $x$ не равна нулю. Следовательно, точка лежит на оси $Ox$ (оси абсцисс).
Ответ: да, точка лежит на оси $Ox$ (оси абсцисс).

4) P (0; 0; 101);
У точки $P(0; 0; 101)$ координаты $x$ и $y$ равны нулю, а координата $z$ не равна нулю. Следовательно, точка лежит на оси $Oz$ (оси аппликат).
Ответ: да, точка лежит на оси $Oz$ (оси аппликат).

5) Q (0; 14,7; 0);
У точки $Q(0; 14,7; 0)$ координаты $x$ и $z$ равны нулю, а координата $y$ не равна нулю. Следовательно, точка лежит на оси $Oy$ (оси ординат).
Ответ: да, точка лежит на оси $Oy$ (оси ординат).

6) S (19; –36; 0).
У точки $S(19; -36; 0)$ две координаты ($x=19$ и $y=-36$) отличны от нуля. Следовательно, точка не лежит на координатной оси. Она лежит в координатной плоскости $xOy$.
Ответ: нет, точка не лежит на координатной оси.

4. Определите, принадлежит ли данная точка координатной плоскости, и в случае утвердительного ответа укажите эту плоскость:

1) $A(6; -9; 11);$

2) $B(-5; 7; 0);$

3) $C(5; 0; -12);$

4) $D(0; 17; -20);$

5) $E(1; -1; 2);$

6) $F(0; -5; 0).$

4. Определите, принадлежит ли данная точка координатной плоскости, и в случае утвердительного ответа укажите эту плоскость:

1) A $ (6; -9; 11); $

2) B $ (-5; 7; 0); $

3) C $ (5; 0; -12); $

4) D $ (0; 17; -20); $

5) E $ (1; -1; 2); $

6) F $ (0; -5; 0). $

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x; y; z)$ одной из координатных плоскостей, необходимо проверить, равна ли одна из ее координат нулю.

• Если координата $z=0$, точка лежит в плоскости $Oxy$.
• Если координата $y=0$, точка лежит в плоскости $Oxz$.
• Если координата $x=0$, точка лежит в плоскости $Oyz$.

Если все три координаты отличны от нуля, точка не принадлежит ни одной из координатных плоскостей. Если две координаты равны нулю, точка лежит на одной из координатных осей и, следовательно, принадлежит двум координатным плоскостям.

1) A (6; –9; 11)

У точки A(6; –9; 11) все три координаты ($x=6$, $y=-9$, $z=11$) отличны от нуля. Следовательно, точка A не принадлежит ни одной из координатных плоскостей.

Ответ: Точка A не принадлежит координатной плоскости.

2) B (–5; 7; 0)

У точки B(–5; 7; 0) третья координата (аппликата) равна нулю: $z=0$. Это означает, что точка B лежит в координатной плоскости $Oxy$.

Ответ: Точка B принадлежит координатной плоскости $Oxy$.

3) C (5; 0; –12)

У точки C(5; 0; –12) вторая координата (ордината) равна нулю: $y=0$. Это означает, что точка C лежит в координатной плоскости $Oxz$.

Ответ: Точка C принадлежит координатной плоскости $Oxz$.

4) D (0; 17; –20)

У точки D(0; 17; –20) первая координата (абсцисса) равна нулю: $x=0$. Это означает, что точка D лежит в координатной плоскости $Oyz$.

Ответ: Точка D принадлежит координатной плоскости $Oyz$.

5) E (1; –1; 2)

У точки E(1; –1; 2) все три координаты ($x=1$, $y=-1$, $z=2$) отличны от нуля. Следовательно, точка E не принадлежит ни одной из координатных плоскостей.

Ответ: Точка E не принадлежит координатной плоскости.

6) F (0; –5; 0)

У точки F(0; –5; 0) первая и третья координаты равны нулю: $x=0$ и $z=0$.Так как $x=0$, точка принадлежит плоскости $Oyz$.Так как $z=0$, точка также принадлежит плоскости $Oxy$.Точка, у которой две координаты равны нулю, лежит на координатной оси (в данном случае на оси $Oy$), которая является линией пересечения двух координатных плоскостей.

Ответ: Точка F принадлежит координатным плоскостям $Oxy$ и $Oyz$.

5. Какие из точек $T(-2; 3; 1)$, $R(2; 3; 1)$, $S(-2; -8; 1)$, $F(-2; 0; -1)$ лежат на одной прямой, параллельной оси ординат?

5. Какие из точек $T (-2; 3; 1)$, $R (2; 3; 1)$, $S (-2; -8; 1)$, $F (-2; 0; -1)$ лежат на одной прямой, параллельной оси ординат?

Прямая, параллельная оси ординат (оси Oy), состоит из точек, у которых координаты абсциссы (x) и аппликаты (z) являются постоянными, а координата ординаты (y) может принимать любые значения. Таким образом, чтобы точки лежали на одной прямой, параллельной оси ординат, они должны иметь одинаковые координаты x и z.

Выпишем координаты данных точек:

• $T(-2; 3; 1)$ имеет координаты $x = -2$, $y = 3$, $z = 1$.
• $R(2; 3; 1)$ имеет координаты $x = 2$, $y = 3$, $z = 1$.
• $S(-2; -8; 1)$ имеет координаты $x = -2$, $y = -8$, $z = 1$.
• $F(-2; 0; -1)$ имеет координаты $x = -2$, $y = 0$, $z = -1$.

Теперь найдем точки, у которых одновременно совпадают и первая (x), и третья (z) координаты.

Сравнивая координаты точек, видим, что у точек $T(-2; 3; 1)$ и $S(-2; -8; 1)$ совпадают как абсциссы ($x = -2$), так и аппликаты ($z = 1$). Это означает, что эти две точки лежат на прямой, которая определяется уравнениями $x = -2$ и $z = 1$. Эта прямая параллельна оси ординат (оси Oy), так как для любой точки на ней координаты x и z постоянны.

У всех остальных пар точек либо абсциссы, либо аппликаты (либо и то, и другое) не совпадают:

• Для T и R: $x_T = -2$, $x_R = 2$. Абсциссы различны.
• Для T и F: $z_T = 1$, $z_F = -1$. Аппликаты различны.
• Для S и F: $z_S = 1$, $z_F = -1$. Аппликаты различны.

Следовательно, только точки T и S лежат на одной прямой, параллельной оси ординат.

Ответ: T и S.