Страница 78 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Точки D $(5; -2; -3)$ и E симметричны относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $xz$.

Найдите отрезок $DE$.

21. Точки $D(5; -2; -3)$ и $E$ симметричны относительно:
1) начала координат;
2) плоскости $xz$.
Найдите отрезок $DE$.

1) начала координат
Дана точка $D(5; -2; -3)$. Точка, симметричная данной точке относительно начала координат $O(0;0;0)$, имеет противоположные по знаку координаты. Следовательно, координаты точки E будут: $E(-5; -(-2); -(-3))$, то есть $E(-5; 2; 3)$.
Длину отрезка DE найдем по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.
Подставим координаты точек D и E:
$DE = \sqrt{(-5-5)^2 + (2-(-2))^2 + (3-(-3))^2} = \sqrt{(-10)^2 + (2+2)^2 + (3+3)^2} = \sqrt{100 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 16 + 36} = \sqrt{152}$.
Упростим полученное значение: $\sqrt{152} = \sqrt{4 \cdot 38} = 2\sqrt{38}$.
Ответ: $2\sqrt{38}$.

2) плоскости xz
Дана точка $D(5; -2; -3)$. Точка, симметричная данной точке относительно плоскости $xz$, имеет те же координаты $x$ и $z$, а координата $y$ меняет свой знак на противоположный. Следовательно, координаты точки E будут: $E(5; -(-2); -3)$, то есть $E(5; 2; -3)$.
Найдем длину отрезка DE по той же формуле:
$DE = \sqrt{(5-5)^2 + (2-(-2))^2 + (-3-(-3))^2} = \sqrt{0^2 + (2+2)^2 + (-3+3)^2} = \sqrt{0 + 4^2 + 0} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4.

22. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; -2; 1)$, $B (-2; 1; 3)$, $C (1; 3; -2)$ и $D (6; 0; -4)$ является ромбом.

22. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; -2; 1)$, $B (-2; 1; 3)$, $C (1; 3; -2)$ и $D (6; 0; -4)$ является ромбом.

По определению, ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. Чтобы доказать, что заданный четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо вычислить длины его сторон AB, BC, CD и DA и показать, что они равны.

Длина отрезка (расстояние между точками) в трёхмерном пространстве с координатами $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Вычислим длины сторон четырёхугольника с вершинами в точках A (3; -2; 1), B (-2; 1; 3), C (1; 3; -2) и D (6; 0; -4).

1. Длина стороны AB: $|AB| = \sqrt{(-2-3)^2 + (1-(-2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (3)^2 + (2)^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38}$.

2. Длина стороны BC: $|BC| = \sqrt{(1-(-2))^2 + (3-1)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}$.

3. Длина стороны CD: $|CD| = \sqrt{(6-1)^2 + (0-3)^2 + (-4-(-2))^2} = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38}$.

4. Длина стороны DA: $|DA| = \sqrt{(3-6)^2 + (-2-0)^2 + (1-(-4))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + (5)^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}$.

Поскольку все стороны четырёхугольника равны: $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{38}$, то четырёхугольник ABCD является ромбом.

Ответ: Так как длины всех сторон четырёхугольника ABCD равны $\sqrt{38}$, он является ромбом, что и требовалось доказать.

23. Докажите, что точки $A (-3; -7; 4)$, $B (2; 3; -1)$ и $C (-4; -9; 5)$ лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

23. Докажите, что точки $A (-3; -7; 4)$, $B (2; 3; -1)$ и $C (-4; -9; 5)$ лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

Докажите, что точки A (-3; -7; 4), B (2; 3; -1) и C (-4; -9; 5) лежат на одной прямой.

Чтобы доказать, что три точки лежат на одной прямой, достаточно показать, что векторы, образованные этими точками и имеющие общее начало (например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$), коллинеарны. Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, используя формулу для координат вектора $\vec{MN} = (x_N-x_M; y_N-y_M; z_N-z_M)$.

Для точек $A(-3; -7; 4)$, $B(2; 3; -1)$ и $C(-4; -9; 5)$ имеем:

$\vec{AB} = (2 - (-3); 3 - (-7); -1 - 4) = (5; 10; -5)$

$\vec{AC} = (-4 - (-3); -9 - (-7); 5 - 4) = (-1; -2; 1)$

2. Проверим пропорциональность координат векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Для этого найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{x_{AB}}{x_{AC}} = \frac{5}{-1} = -5$
$\frac{y_{AB}}{y_{AC}} = \frac{10}{-2} = -5$
$\frac{z_{AB}}{z_{AC}} = \frac{-5}{1} = -5$

Так как отношения всех соответствующих координат равны одному и тому же числу (-5), то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны. Поскольку они имеют общее начало в точке A, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Условие коллинеарности векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выполняется, следовательно, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Какая из этих точек лежит между двумя другими?

Чтобы определить, какая из точек лежит между двумя другими, можно проанализировать соотношение векторов или сравнить расстояния между точками.

Способ 1: Анализ векторов
Из предыдущего пункта мы знаем, что $\vec{AB} = -5 \cdot \vec{AC}$. Коэффициент пропорциональности $k = -5$ является отрицательным. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ направлены в противоположные стороны от их общего начала, точки A. Следовательно, точка A находится между точками B и C.

Способ 2: Сравнение расстояний
Три точки лежат на одной прямой, и одна из них лежит между двумя другими, если расстояние между крайними точками равно сумме расстояний от них до средней точки. Проверим, выполняется ли равенство $|BC| = |BA| + |AC|$.

Найдем длины отрезков, которые равны модулям соответствующих векторов. Длина вектора с координатами $(x;y;z)$ равна $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$|AB| = |\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + 10^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 100 + 25} = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$.

$|AC| = |\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.

Найдем вектор $\vec{BC} = (-4 - 2; -9 - 3; 5 - (-1)) = (-6; -12; 6)$.
Его длина:
$|BC| = |\vec{BC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 144 + 36} = \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$.

Теперь проверим равенство:
$|AB| + |AC| = 5\sqrt{6} + \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$.

Так как $|AB| + |AC| = |BC|$, то точка A лежит на отрезке BC, то есть между точками B и C.

Ответ: Точка A лежит между точками B и C.

24. На рисунке 23 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли утверждение:

Рис. 23

1) $\vec{DD_1} \parallel \vec{C_1C}$;

2) $\vec{DD_1} \uparrow\uparrow \vec{C_1C}$;

3) $\vec{DD_1} \uparrow\uparrow \vec{BB_1}$;

4) $\vec{DD_1} \uparrow\downarrow \vec{D_1D}$;

5) $|\vec{A_1D}| = |\vec{BC_1}|$;

6) $\vec{DD_1} = \vec{DA}$;

7) $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$;

8) $\vec{DD_1} = \vec{C_1C}$;

9) $\vec{A_1D} = \vec{B_1C}$?

24. На рисунке 23 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли утверждение:

Рис. 23

1) $\vec{DD_1} \parallel \vec{C_1C}$;

2) $\vec{DD_1} \uparrow\uparrow \vec{C_1C}$;

3) $\vec{DD_1} \uparrow\uparrow \vec{BB_1}$;

4) $\vec{DD_1} \uparrow\downarrow \vec{D_1D}$;

5) $\left|\vec{A_1D}\right| = \left|\vec{BC_1}\right|$;

6) $\vec{DD_1} = \vec{DA}$;

7) $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$;

8) $\vec{DD_1} = \vec{C_1C}$;

9) $\vec{A_1D} = \vec{B_1C}$?

1) $DD_1 \parallel C_1C$

В кубе все боковые ребра параллельны между собой. Ребра $DD_1$ и $CC_1$ являются боковыми ребрами, следовательно, прямые, содержащие эти ребра, параллельны. Отрезок $C_1C$ лежит на той же прямой, что и $CC_1$. Таким образом, утверждение о параллельности прямых $DD_1$ и $C_1C$ верно.
Ответ: Верно

2) $\vec{DD_1} \uparrow \uparrow \vec{C_1C}$

Два вектора называются сонаправленными (обозначается $\uparrow \uparrow$), если они коллинеарны (лежат на параллельных прямых или на одной прямой) и направлены в одну сторону. Вектор $\vec{DD_1}$ направлен от точки $D$ к точке $D_1$ (вверх). Вектор $\vec{C_1C}$ направлен от точки $C_1$ к точке $C$ (вниз). Так как векторы направлены в противоположные стороны, они не являются сонаправленными, а являются противоположно направленными.
Ответ: Неверно

3) $\vec{DD_1} \uparrow \uparrow \vec{BB_1}$

Вектор $\vec{DD_1}$ направлен от $D$ к $D_1$ (вверх). Вектор $\vec{BB_1}$ направлен от $B$ к $B_1$ (вверх). Ребра $DD_1$ и $BB_1$ параллельны, так как являются боковыми ребрами куба. Поскольку векторы коллинеарны и направлены в одну сторону, они сонаправлены.
Ответ: Верно

4) $\vec{DD_1} \uparrow \downarrow \vec{D_1D}$

Два вектора называются противоположно направленными (обозначается $\uparrow \downarrow$), если они коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Вектор $\vec{DD_1}$ направлен от $D$ к $D_1$ (вверх). Вектор $\vec{D_1D}$ направлен от $D_1$ к $D$ (вниз). Векторы лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, следовательно, они противоположно направлены.
Ответ: Верно

5) $|\vec{A_1D}| = |\vec{BC_1}|$

Длина (модуль) вектора $|\vec{A_1D}|$ равна длине отрезка $A_1D$, который является диагональю грани $ADD_1A_1$. Длина вектора $|\vec{BC_1}|$ равна длине отрезка $BC_1$, который является диагональю грани $BCC_1B_1$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, все его грани являются равными квадратами. Диагонали равных квадратов равны. Следовательно, длины векторов $|\vec{A_1D}|$ и $|\vec{BC_1}|$ равны.
Ответ: Верно

6) $\vec{DD_1} = \vec{DA}$

Два вектора равны, если они сонаправлены и их длины равны. Ребра $DD_1$ и $DA$ перпендикулярны друг другу, так как они являются смежными ребрами куба. Следовательно, векторы $\vec{DD_1}$ и $\vec{DA}$ не коллинеарны и, значит, не могут быть равны.
Ответ: Неверно

7) $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$

Векторы $\vec{DD_1}$ и $\vec{AA_1}$ соответствуют боковым ребрам куба $DD_1$ и $AA_1$. Эти ребра параллельны и равны по длине. Векторы направлены в одну сторону (вверх, от нижнего основания к верхнему). Так как векторы сонаправлены и их длины равны, они равны.
Ответ: Верно

8) $\vec{DD_1} = \vec{C_1C}$

Как было показано в пункте 2, векторы $\vec{DD_1}$ и $\vec{C_1C}$ противоположно направлены. Равные векторы должны быть сонаправлены. Следовательно, эти векторы не равны. Верным было бы равенство $\vec{DD_1} = -\vec{C_1C}$ или $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$.
Ответ: Неверно

9) $\vec{A_1D} = \vec{B_1C}$?

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1CD$. В кубе ребро $A_1B_1$ параллельно и равно ребру $DC$. Если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, $A_1B_1CD$ — это параллелограмм. В параллелограмме векторы, образованные другими двумя противоположными сторонами ($A_1D$ и $B_1C$), равны. Таким образом, $\vec{A_1D} = \vec{B_1C}$.
Ответ: Верно

25. Начертите призму $ABCA_1B_1C_1$. Отложите:

1) от точки $C_1$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{CC_1}$;

2) от точки $A$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{CA}$;

3) от точки $B$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{A_1C_1}$.

25. Начертите призму $ABC A_1 B_1 C_1$. Отложите:

1) от точки $C_1$ вектор, равный вектору $\vec{CC_1}$;

2) от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{CA}$;

3) от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{A_1 C_1}$.

Для решения задачи сначала начертим или мысленно представим произвольную призму $ABCA_1B_1C_1$. Основания призмы, $ABC$ и $A_1B_1C_1$, — это равные треугольники, лежащие в параллельных плоскостях. Боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ параллельны и равны по длине. Из этих свойств призмы следуют важные для решения векторные равенства: $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1}$, а также $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A_1C_1}$, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_1C_1}$ и так далее для всех соответствующих пар вершин.

1) от точки C₁ вектор, равный вектору $\overrightarrow{CC_1}$;

Нужно отложить от точки $C_1$ вектор, который будет сонаправлен вектору $\overrightarrow{CC_1}$ и равен ему по длине. Пусть конец искомого вектора — точка $D$. Тогда мы ищем вектор $\overrightarrow{C_1D}$ такой, что $\overrightarrow{C_1D} = \overrightarrow{CC_1}$.

Вектор $\overrightarrow{CC_1}$ задаёт параллельный перенос, который отображает точку $C$ в точку $C_1$. Чтобы отложить равный ему вектор от точки $C_1$, нужно применить этот же параллельный перенос к точке $C_1$. Точка $D$ будет образом точки $C_1$ при таком переносе. Геометрически это означает, что точка $C_1$ является серединой отрезка $CD$. Точки $C$, $C_1$ и $D$ лежат на одной прямой, причём расстояние $|CC_1|$ равно расстоянию $|C_1D|$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{C_1D}$, где точка $D$ такова, что $C_1$ является серединой отрезка $CD$.

2) от точки A вектор, равный вектору $\overrightarrow{CA}$;

Требуется отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{CA}$. Пусть конец этого вектора — точка $E$. Тогда необходимо построить вектор $\overrightarrow{AE}$ такой, что $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CA}$.

Вектор $\overrightarrow{CA}$ направлен от точки $C$ к точке $A$. Вектор $\overrightarrow{AE}$ должен иметь то же направление и ту же длину, но начинаться в точке $A$. Это означает, что точки $C$, $A$ и $E$ лежат на одной прямой, причём точка $A$ находится между точками $C$ и $E$. Длина отрезка $AE$ равна длине отрезка $CA$. Таким образом, точка $A$ является серединой отрезка $CE$.

Можно также рассуждать иначе, используя противоположные векторы: $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$. Следовательно, $\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AC}$, что означает, что вектор $\overrightarrow{AE}$ противоположен по направлению вектору $\overrightarrow{AC}$ и равен ему по модулю.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{AE}$, где точка $E$ такова, что $A$ является серединой отрезка $CE$.

3) от точки B вектор, равный вектору $\overrightarrow{A_1C_1}$.

Нужно отложить от точки $B$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{A_1C_1}$. Пусть конец искомого вектора — точка $F$. Мы ищем вектор $\overrightarrow{BF}$ такой, что $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{A_1C_1}$.

Исходя из определения призмы, её основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равными фигурами в параллельных плоскостях. Это означает, что соответствующие векторы, образованные вершинами оснований, равны. В частности, $\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC}$.

Таким образом, задача сводится к построению вектора $\overrightarrow{BF}$, равного вектору $\overrightarrow{AC}$: $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AC}$.

Данное векторное равенство является определением параллелограмма. Четырёхугольник, вершины которого последовательно соединены векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{CB}$ (чтобы получить диагональ $\overrightarrow{AB}$) и $\overrightarrow{AF}$ и $\overrightarrow{FB}$ (чтобы получить ту же диагональ), не подходит. Равенство $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AC}$ означает, что отрезки $AC$ и $BF$ параллельны, равны по длине и одинаково направлены. Следовательно, четырёхугольник $ACFB$ является параллелограммом. Для построения точки $F$ нужно через точку $B$ провести прямую, параллельную $AC$, и отложить на ней отрезок $BF$, равный по длине отрезку $AC$, в том же направлении, что и от $A$ к $C$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{BF}$, где точка $F$ такова, что четырёхугольник $ACFB$ является параллелограммом.

26. Найдите координаты вектора $\vec{AB}$, если A (2; -3; 8), B (-2; 7; -3).

26. Найдите координаты вектора $ \vec{AB} $, если $ A (2; -3; 8) $, $ B (-2; 7; -3) $.

Чтобы найти координаты вектора $\vec{AB}$, необходимо из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты его начальной точки (A).

Если даны точки $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$, то координаты вектора $\vec{AB} = (x; y; z)$ вычисляются по формулам:

$x = x_B - x_A$

$y = y_B - y_A$

$z = z_B - z_A$

Подставим в эти формулы координаты данных точек $A(2; -3; 8)$ и $B(-2; 7; -3)$:

$x = -2 - 2 = -4$

$y = 7 - (-3) = 7 + 3 = 10$

$z = -3 - 8 = -11$

Таким образом, вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(-4; 10; -11)$.

Ответ: $(-4; 10; -11)$.

27. Найдите координаты начала вектора $\vec{BC}$ $(5; -3; 7)$,
если $C (8; -2; 1)$.

27. Найдите координаты начала вектора $ \vec{BC} (5; -3; 7)$, если $C (8; -2; 1)$.

Пусть координаты начала вектора, точки B, равны $(x_B; y_B; z_B)$. Нам известны координаты конца вектора, точки C, которые равны $(8; -2; 1)$, и координаты самого вектора $\overrightarrow{BC}$, которые равны $(5; -3; 7)$.

Координаты вектора находятся путем вычитания соответствующих координат его начала из координат его конца. Для вектора $\overrightarrow{BC}$ это записывается в виде формул:
$\overrightarrow{BC}_x = x_C - x_B$
$\overrightarrow{BC}_y = y_C - y_B$
$\overrightarrow{BC}_z = z_C - z_B$

Подставив известные значения в эти формулы, получим систему из трех уравнений:
$5 = 8 - x_B$
$-3 = -2 - y_B$
$7 = 1 - z_B$

Чтобы найти координаты точки B, необходимо решить эти уравнения относительно $x_B, y_B, z_B$:
$x_B = 8 - 5 = 3$
$y_B = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1$
$z_B = 1 - 7 = -6$

Таким образом, координаты начала вектора B равны $(3; 1; -6)$.

Ответ: $(3; 1; -6)$

28. Даны точки D (2; y; -7), E (1; 0; z), F (x; -4; 5) и K (-2; 3; -1). При каких значениях x, y и z верно равенство $\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{FK}$?

28. Даны точки $D (2; y; -7)$, $E (1; 0; z)$, $F (x; -4; 5)$ и $K (-2; 3; -1)$. При каких значениях $x, y$ и $z$ верно равенство $\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{FK}$?

Для того чтобы равенство векторов $\vec{DE} = \vec{FK}$ было верным, их соответствующие координаты должны быть равны.

Координаты вектора находятся путем вычитания координат его начальной точки из координат конечной точки.

1. Найдем координаты вектора $\vec{DE}$, используя точки $D(2; y; -7)$ и $E(1; 0; z)$:

$\vec{DE} = (1 - 2; 0 - y; z - (-7)) = (-1; -y; z + 7)$

2. Найдем координаты вектора $\vec{FK}$, используя точки $F(x; -4; 5)$ и $K(-2; 3; -1)$:

$\vec{FK} = (-2 - x; 3 - (-4); -1 - 5) = (-2 - x; 7; -6)$

3. Приравняем соответствующие координаты векторов, чтобы найти неизвестные $x$, $y$ и $z$. Это дает нам систему из трех уравнений:

$\begin{cases} -1 = -2 - x \\ -y = 7 \\ z + 7 = -6 \end{cases}$

4. Решим полученную систему уравнений:

Из первого уравнения находим $x$:
$-1 = -2 - x$
$x = -2 + 1$
$x = -1$

Из второго уравнения находим $y$:
$-y = 7$
$y = -7$

Из третьего уравнения находим $z$:
$z + 7 = -6$
$z = -6 - 7$
$z = -13$

Таким образом, равенство $\vec{DE} = \vec{FK}$ выполняется при $x = -1$, $y = -7$ и $z = -13$.

Ответ: $x = -1, y = -7, z = -13$.

29. Используя векторы, докажите, что четырёхугольник $MNKP$ с вершинами в точках $M (-3; 2; -4)$, $N (-1; 6; 6)$, $K (6; 7; 8)$ и $P (4; 3; -2)$ является параллелограммом.

29. Используя векторы, докажите, что четырёхугольник $MNKP$ с вершинами в точках $M (-3; 2; -4)$, $N (-1; 6; 6)$, $K (6; 7; 8)$ и $P (4; 3; -2)$ является параллелограммом.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник MNKP является параллелограммом, достаточно показать, что векторы, соответствующие двум его противоположным сторонам, равны. Согласно определению параллелограмма, если два противоположных вектора равны, то они параллельны и имеют одинаковую длину, что является достаточным условием для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом. Проверим равенство векторов $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$.

Координаты вершин четырехугольника:

M(-3; 2; -4)

N(-1; 6; 6)

K(6; 7; 8)

P(4; 3; -2)

Координаты вектора, заданного двумя точками $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$, находятся по формуле: $\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = (-1 - (-3); 6 - 2; 6 - (-4)) = (2; 4; 10)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{PK}$ (обратите внимание, что вектор должен быть направлен от P к K, чтобы быть сонаправленным с $\vec{MN}$):

$\vec{PK} = (6 - 4; 7 - 3; 8 - (-2)) = (2; 4; 10)$.

Так как координаты векторов $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$ совпадают, то векторы равны: $\vec{MN} = \vec{PK}$.

Равенство векторов означает, что они коллинеарны (параллельны), сонаправлены и имеют одинаковую длину. Поскольку две противоположные стороны четырехугольника MNKP (стороны MN и KP) параллельны и равны по длине, данный четырехугольник является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Так как векторы противоположных сторон $\vec{MN} = (2; 4; 10)$ и $\vec{PK} = (2; 4; 10)$ равны, четырехугольник MNKP является параллелограммом.