Номер 22, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; -2; 1)$, $B (-2; 1; 3)$, $C (1; 3; -2)$ и $D (6; 0; -4)$ является ромбом.

22. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; -2; 1)$, $B (-2; 1; 3)$, $C (1; 3; -2)$ и $D (6; 0; -4)$ является ромбом.

По определению, ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. Чтобы доказать, что заданный четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо вычислить длины его сторон AB, BC, CD и DA и показать, что они равны.

Длина отрезка (расстояние между точками) в трёхмерном пространстве с координатами $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Вычислим длины сторон четырёхугольника с вершинами в точках A (3; -2; 1), B (-2; 1; 3), C (1; 3; -2) и D (6; 0; -4).

1. Длина стороны AB: $|AB| = \sqrt{(-2-3)^2 + (1-(-2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (3)^2 + (2)^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38}$.

2. Длина стороны BC: $|BC| = \sqrt{(1-(-2))^2 + (3-1)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}$.

3. Длина стороны CD: $|CD| = \sqrt{(6-1)^2 + (0-3)^2 + (-4-(-2))^2} = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38}$.

4. Длина стороны DA: $|DA| = \sqrt{(3-6)^2 + (-2-0)^2 + (1-(-4))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + (5)^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}$.

Поскольку все стороны четырёхугольника равны: $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{38}$, то четырёхугольник ABCD является ромбом.

Ответ: Так как длины всех сторон четырёхугольника ABCD равны $\sqrt{38}$, он является ромбом, что и требовалось доказать.