Номер 16, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. Найдите координаты точки, которая делит отрезок $EF$ в отношении $3 : 1$, считая от точки $F$, если $E (-3; 8; -5)$, $F (-7; 6; 7)$.

16. Найдите координаты точки, которая делит отрезок $EF$ в отношении $3 : 1$, считая от точки $F$, если $E (-3; 8; -5)$, $F (-7; 6; 7)$.

Для нахождения координат точки, которая делит отрезок в заданном отношении, используется формула деления отрезка в пространстве. Пусть искомая точка P имеет координаты $(x; y; z)$.

По условию, точка P делит отрезок EF в отношении $3:1$, считая от точки F. Это означает, что отношение длины отрезка FP к длине отрезка PE равно $3:1$.

Координаты точки P, которая делит отрезок, соединяющий точку $F(x_F; y_F; z_F)$ и точку $E(x_E; y_E; z_E)$ в отношении $m:n$ (считая от F), вычисляются по следующим формулам:

$x = \frac{n \cdot x_F + m \cdot x_E}{m + n}$

$y = \frac{n \cdot y_F + m \cdot y_E}{m + n}$

$z = \frac{n \cdot z_F + m \cdot z_E}{m + n}$

В нашем случае даны:

• Координаты точки E: $(x_E; y_E; z_E) = (-3; 8; -5)$.
• Координаты точки F: $(x_F; y_F; z_F) = (-7; 6; 7)$.
• Отношение $m:n = 3:1$.

Подставим значения в формулы для вычисления каждой координаты искомой точки P.

Вычисление координаты x:

$x = \frac{1 \cdot (-7) + 3 \cdot (-3)}{3 + 1} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

Вычисление координаты y:

$y = \frac{1 \cdot 6 + 3 \cdot 8}{3 + 1} = \frac{6 + 24}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$

Вычисление координаты z:

$z = \frac{1 \cdot 7 + 3 \cdot (-5)}{3 + 1} = \frac{7 - 15}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Таким образом, координаты точки, которая делит отрезок EF в отношении $3:1$, считая от точки F, равны $(-4; 7.5; -2)$.

Ответ: $(-4; 7.5; -2)$.