Номер 11, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Найдите точку, принадлежащую оси аппликат и равноудалённую от точек $A (4; 1; -2)$ и $B (1; 0; 3)$.

11. Найдите точку, принадлежащую оси аппликат и равноудалённую от точек $A(4; 1; -2)$ и $B(1; 0; 3)$.

Пусть искомая точка M принадлежит оси аппликат (оси Oz). Любая точка на оси аппликат имеет координаты $x=0$ и $y=0$. Таким образом, координаты искомой точки можно записать как M(0; 0; z).

По условию задачи, точка M равноудалена от точек A(4; 1; -2) и B(1; 0; 3). Это означает, что расстояние от M до A равно расстоянию от M до B, то есть $MA = MB$. Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов этих расстояний: $MA^2 = MB^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками $P_1(x_1; y_1; z_1)$ и $P_2(x_2; y_2; z_2)$ в пространстве вычисляется по формуле:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

Найдем квадрат расстояния от точки M(0; 0; z) до точки A(4; 1; -2):

$MA^2 = (4 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (-2 - z)^2 = 4^2 + 1^2 + (-(2 + z))^2 = 16 + 1 + (2 + z)^2 = 17 + 4 + 4z + z^2 = 21 + 4z + z^2$.

Теперь найдем квадрат расстояния от точки M(0; 0; z) до точки B(1; 0; 3):

$MB^2 = (1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (3 - z)^2 = 1^2 + 0^2 + (3 - z)^2 = 1 + 9 - 6z + z^2 = 10 - 6z + z^2$.

Приравняем полученные выражения для $MA^2$ и $MB^2$ и решим получившееся уравнение относительно z:

$21 + 4z + z^2 = 10 - 6z + z^2$

Вычтем $z^2$ из обеих частей уравнения:

$21 + 4z = 10 - 6z$

Перенесем слагаемые, содержащие z, в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую:

$4z + 6z = 10 - 21$

$10z = -11$

$z = -11 / 10 = -1,1$

Следовательно, искомая точка на оси аппликат имеет координаты (0; 0; -1,1).

Ответ: (0; 0; -1,1).