Номер 18, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Точки $A_1 (4; 2; -3)$ и $B_1 (-3; 2; 1)$ — середины сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $A$ и $C$, если вершина $B$ имеет координаты $(-2; -1; 2)$.

18. Точки $A_1 (4; 2; -3)$ и $B_1 (-3; 2; 1)$ — середины сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $A$ и $C$, если вершина $B$ имеет координаты $(-2; -1; 2)$.

Пусть координаты вершин треугольника $ABC$ заданы как $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $C(x_C, y_C, z_C)$.

По условию задачи нам даны:

• Координаты точки $A_1(4; 2; -3)$, которая является серединой стороны $BC$.
• Координаты точки $B_1(-3; 2; 1)$, которая является серединой стороны $AC$.
• Координаты вершины $B(-2; -1; 2)$.

Координаты $(x_m, y_m, z_m)$ середины отрезка, концы которого имеют координаты $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$, вычисляются по формулам:

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$, $z_m = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Из этих формул можно выразить координаты одного из концов отрезка, если известны координаты другого конца и середины:

$x_2 = 2x_m - x_1$, $y_2 = 2y_m - y_1$, $z_2 = 2z_m - z_1$

Координаты вершины C

Так как точка $A_1$ является серединой стороны $BC$, мы можем найти координаты вершины $C$, используя координаты вершины $B$ и точки $A_1$.

$x_C = 2x_{A1} - x_B = 2 \cdot 4 - (-2) = 8 + 2 = 10$

$y_C = 2y_{A1} - y_B = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5$

$z_C = 2z_{A1} - z_B = 2 \cdot (-3) - 2 = -6 - 2 = -8$

Следовательно, вершина $C$ имеет координаты $(10; 5; -8)$.

Ответ: $C(10; 5; -8)$

Координаты вершины A

Аналогично, точка $B_1$ является серединой стороны $AC$. Зная координаты вершины $C$ и точки $B_1$, мы можем найти координаты вершины $A$.

$x_A = 2x_{B1} - x_C = 2 \cdot (-3) - 10 = -6 - 10 = -16$

$y_A = 2y_{B1} - y_C = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$

$z_A = 2z_{B1} - z_C = 2 \cdot 1 - (-8) = 2 + 8 = 10$

Следовательно, вершина $A$ имеет координаты $(-16; -1; 10)$.

Ответ: $A(-16; -1; 10)$