Номер 25, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Начертите призму $ABCA_1B_1C_1$. Отложите:

1) от точки $C_1$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{CC_1}$;

2) от точки $A$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{CA}$;

3) от точки $B$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{A_1C_1}$.

25. Начертите призму $ABC A_1 B_1 C_1$. Отложите:

1) от точки $C_1$ вектор, равный вектору $\vec{CC_1}$;

2) от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{CA}$;

3) от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{A_1 C_1}$.

Для решения задачи сначала начертим или мысленно представим произвольную призму $ABCA_1B_1C_1$. Основания призмы, $ABC$ и $A_1B_1C_1$, — это равные треугольники, лежащие в параллельных плоскостях. Боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ параллельны и равны по длине. Из этих свойств призмы следуют важные для решения векторные равенства: $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1}$, а также $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A_1C_1}$, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_1C_1}$ и так далее для всех соответствующих пар вершин.

1) от точки C₁ вектор, равный вектору $\overrightarrow{CC_1}$;

Нужно отложить от точки $C_1$ вектор, который будет сонаправлен вектору $\overrightarrow{CC_1}$ и равен ему по длине. Пусть конец искомого вектора — точка $D$. Тогда мы ищем вектор $\overrightarrow{C_1D}$ такой, что $\overrightarrow{C_1D} = \overrightarrow{CC_1}$.

Вектор $\overrightarrow{CC_1}$ задаёт параллельный перенос, который отображает точку $C$ в точку $C_1$. Чтобы отложить равный ему вектор от точки $C_1$, нужно применить этот же параллельный перенос к точке $C_1$. Точка $D$ будет образом точки $C_1$ при таком переносе. Геометрически это означает, что точка $C_1$ является серединой отрезка $CD$. Точки $C$, $C_1$ и $D$ лежат на одной прямой, причём расстояние $|CC_1|$ равно расстоянию $|C_1D|$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{C_1D}$, где точка $D$ такова, что $C_1$ является серединой отрезка $CD$.

2) от точки A вектор, равный вектору $\overrightarrow{CA}$;

Требуется отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{CA}$. Пусть конец этого вектора — точка $E$. Тогда необходимо построить вектор $\overrightarrow{AE}$ такой, что $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CA}$.

Вектор $\overrightarrow{CA}$ направлен от точки $C$ к точке $A$. Вектор $\overrightarrow{AE}$ должен иметь то же направление и ту же длину, но начинаться в точке $A$. Это означает, что точки $C$, $A$ и $E$ лежат на одной прямой, причём точка $A$ находится между точками $C$ и $E$. Длина отрезка $AE$ равна длине отрезка $CA$. Таким образом, точка $A$ является серединой отрезка $CE$.

Можно также рассуждать иначе, используя противоположные векторы: $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$. Следовательно, $\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AC}$, что означает, что вектор $\overrightarrow{AE}$ противоположен по направлению вектору $\overrightarrow{AC}$ и равен ему по модулю.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{AE}$, где точка $E$ такова, что $A$ является серединой отрезка $CE$.

3) от точки B вектор, равный вектору $\overrightarrow{A_1C_1}$.

Нужно отложить от точки $B$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{A_1C_1}$. Пусть конец искомого вектора — точка $F$. Мы ищем вектор $\overrightarrow{BF}$ такой, что $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{A_1C_1}$.

Исходя из определения призмы, её основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равными фигурами в параллельных плоскостях. Это означает, что соответствующие векторы, образованные вершинами оснований, равны. В частности, $\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC}$.

Таким образом, задача сводится к построению вектора $\overrightarrow{BF}$, равного вектору $\overrightarrow{AC}$: $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AC}$.

Данное векторное равенство является определением параллелограмма. Четырёхугольник, вершины которого последовательно соединены векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{CB}$ (чтобы получить диагональ $\overrightarrow{AB}$) и $\overrightarrow{AF}$ и $\overrightarrow{FB}$ (чтобы получить ту же диагональ), не подходит. Равенство $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AC}$ означает, что отрезки $AC$ и $BF$ параллельны, равны по длине и одинаково направлены. Следовательно, четырёхугольник $ACFB$ является параллелограммом. Для построения точки $F$ нужно через точку $B$ провести прямую, параллельную $AC$, и отложить на ней отрезок $BF$, равный по длине отрезку $AC$, в том же направлении, что и от $A$ к $C$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{BF}$, где точка $F$ такова, что четырёхугольник $ACFB$ является параллелограммом.