Номер 29, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

29. Используя векторы, докажите, что четырёхугольник $MNKP$ с вершинами в точках $M (-3; 2; -4)$, $N (-1; 6; 6)$, $K (6; 7; 8)$ и $P (4; 3; -2)$ является параллелограммом.

29. Используя векторы, докажите, что четырёхугольник $MNKP$ с вершинами в точках $M (-3; 2; -4)$, $N (-1; 6; 6)$, $K (6; 7; 8)$ и $P (4; 3; -2)$ является параллелограммом.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник MNKP является параллелограммом, достаточно показать, что векторы, соответствующие двум его противоположным сторонам, равны. Согласно определению параллелограмма, если два противоположных вектора равны, то они параллельны и имеют одинаковую длину, что является достаточным условием для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом. Проверим равенство векторов $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$.

Координаты вершин четырехугольника:

M(-3; 2; -4)

N(-1; 6; 6)

K(6; 7; 8)

P(4; 3; -2)

Координаты вектора, заданного двумя точками $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$, находятся по формуле: $\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = (-1 - (-3); 6 - 2; 6 - (-4)) = (2; 4; 10)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{PK}$ (обратите внимание, что вектор должен быть направлен от P к K, чтобы быть сонаправленным с $\vec{MN}$):

$\vec{PK} = (6 - 4; 7 - 3; 8 - (-2)) = (2; 4; 10)$.

Так как координаты векторов $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$ совпадают, то векторы равны: $\vec{MN} = \vec{PK}$.

Равенство векторов означает, что они коллинеарны (параллельны), сонаправлены и имеют одинаковую длину. Поскольку две противоположные стороны четырехугольника MNKP (стороны MN и KP) параллельны и равны по длине, данный четырехугольник является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Так как векторы противоположных сторон $\vec{MN} = (2; 4; 10)$ и $\vec{PK} = (2; 4; 10)$ равны, четырехугольник MNKP является параллелограммом.