Номер 23, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Докажите, что точки $A (-3; -7; 4)$, $B (2; 3; -1)$ и $C (-4; -9; 5)$ лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

23. Докажите, что точки $A (-3; -7; 4)$, $B (2; 3; -1)$ и $C (-4; -9; 5)$ лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

Докажите, что точки A (-3; -7; 4), B (2; 3; -1) и C (-4; -9; 5) лежат на одной прямой.

Чтобы доказать, что три точки лежат на одной прямой, достаточно показать, что векторы, образованные этими точками и имеющие общее начало (например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$), коллинеарны. Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, используя формулу для координат вектора $\vec{MN} = (x_N-x_M; y_N-y_M; z_N-z_M)$.

Для точек $A(-3; -7; 4)$, $B(2; 3; -1)$ и $C(-4; -9; 5)$ имеем:

$\vec{AB} = (2 - (-3); 3 - (-7); -1 - 4) = (5; 10; -5)$

$\vec{AC} = (-4 - (-3); -9 - (-7); 5 - 4) = (-1; -2; 1)$

2. Проверим пропорциональность координат векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Для этого найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{x_{AB}}{x_{AC}} = \frac{5}{-1} = -5$
$\frac{y_{AB}}{y_{AC}} = \frac{10}{-2} = -5$
$\frac{z_{AB}}{z_{AC}} = \frac{-5}{1} = -5$

Так как отношения всех соответствующих координат равны одному и тому же числу (-5), то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны. Поскольку они имеют общее начало в точке A, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Условие коллинеарности векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выполняется, следовательно, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Какая из этих точек лежит между двумя другими?

Чтобы определить, какая из точек лежит между двумя другими, можно проанализировать соотношение векторов или сравнить расстояния между точками.

Способ 1: Анализ векторов
Из предыдущего пункта мы знаем, что $\vec{AB} = -5 \cdot \vec{AC}$. Коэффициент пропорциональности $k = -5$ является отрицательным. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ направлены в противоположные стороны от их общего начала, точки A. Следовательно, точка A находится между точками B и C.

Способ 2: Сравнение расстояний
Три точки лежат на одной прямой, и одна из них лежит между двумя другими, если расстояние между крайними точками равно сумме расстояний от них до средней точки. Проверим, выполняется ли равенство $|BC| = |BA| + |AC|$.

Найдем длины отрезков, которые равны модулям соответствующих векторов. Длина вектора с координатами $(x;y;z)$ равна $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$|AB| = |\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + 10^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 100 + 25} = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$.

$|AC| = |\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.

Найдем вектор $\vec{BC} = (-4 - 2; -9 - 3; 5 - (-1)) = (-6; -12; 6)$.
Его длина:
$|BC| = |\vec{BC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 144 + 36} = \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$.

Теперь проверим равенство:
$|AB| + |AC| = 5\sqrt{6} + \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$.

Так как $|AB| + |AC| = |BC|$, то точка A лежит на отрезке BC, то есть между точками B и C.

Ответ: Точка A лежит между точками B и C.