Номер 20, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. Найдите координаты точек $A$ и $B$ и отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит оси $x$, точка $B$ лежит в плоскости $yz$ и точка $C (-5; 4; 1)$ — середина отрезка $AB$.

20. Найдите координаты точек $A$ и $B$ и отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит оси $x$, точка $B$ лежит в плоскости $yz$ и точка $C(-5; 4; 1)$ — середина отрезка $AB$.

Пусть координаты точки A будут $(x_A, y_A, z_A)$, а координаты точки B - $(x_B, y_B, z_B)$.

По условию, точка A принадлежит оси x. Это значит, что ее координаты y и z равны нулю: $y_A = 0$, $z_A = 0$. Таким образом, точка A имеет координаты $A(x_A; 0; 0)$.

Точка B лежит в плоскости yz. Это значит, что ее координата x равна нулю: $x_B = 0$. Таким образом, точка B имеет координаты $B(0; y_B; z_B)$.

Точка C с координатами $(-5; 4; 1)$ является серединой отрезка AB. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов по формулам:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$
$z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$

Координаты точек А и В

Подставим известные значения в формулы для нахождения неизвестных координат точек A и B.
Для координаты x:
$-5 = \frac{x_A + 0}{2} \implies x_A = -5 \cdot 2 = -10$.
Для координаты y:
$4 = \frac{0 + y_B}{2} \implies y_B = 4 \cdot 2 = 8$.
Для координаты z:
$1 = \frac{0 + z_B}{2} \implies z_B = 1 \cdot 2 = 2$.
Таким образом, координаты точки A: $(-10; 0; 0)$, а координаты точки B: $(0; 8; 2)$.
Ответ: $A(-10; 0; 0)$, $B(0; 8; 2)$.

Отрезок АВ

Под нахождением отрезка AB подразумевается нахождение его длины. Длину отрезка AB найдем по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:
$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
Подставим найденные координаты точек $A(-10; 0; 0)$ и $B(0; 8; 2)$:
$AB = \sqrt{(0 - (-10))^2 + (8 - 0)^2 + (2 - 0)^2}$
$AB = \sqrt{10^2 + 8^2 + 2^2}$
$AB = \sqrt{100 + 64 + 4}$
$AB = \sqrt{168}$.
Упростим полученное значение, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{168} = \sqrt{4 \cdot 42} = 2\sqrt{42}$.
Ответ: Длина отрезка AB равна $2\sqrt{42}$.