Номер 15, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Найдите координаты точек, симметричных точкам $M(-3; 5; -1)$, $P(10; -4; 4)$ и $N(7; -1; 0)$ относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $xy$.

15. Найдите координаты точек, симметричных точкам $M(-3; 5; -1)$, $P(10; -4; 4)$ и $N(7; -1; 0)$ относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $xy$.

1) начала координат;

Чтобы найти координаты точки, симметричной данной точке $A(x; y; z)$ относительно начала координат (точки $O(0; 0; 0)$), необходимо изменить знаки всех ее координат на противоположные. Таким образом, симметричная точка $A'$ будет иметь координаты $(-x; -y; -z)$.

• Для точки $M(-3; 5; -1)$ симметричной будет точка $M_1$ с координатами:
  $x' = -(-3) = 3$
  $y' = -5$
  $z' = -(-1) = 1$
  Координаты точки $M_1(3; -5; 1)$.

• Для точки $P(10; -4; 4)$ симметричной будет точка $P_1$ с координатами:
  $x' = -10$
  $y' = -(-4) = 4$
  $z' = -4$
  Координаты точки $P_1(-10; 4; -4)$.

• Для точки $N(7; -1; 0)$ симметричной будет точка $N_1$ с координатами:
  $x' = -7$
  $y' = -(-1) = 1$
  $z' = -0 = 0$
  Координаты точки $N_1(-7; 1; 0)$.

Ответ: $M_1(3; -5; 1)$; $P_1(-10; 4; -4)$; $N_1(-7; 1; 0)$.

2) плоскости xy.

Чтобы найти координаты точки, симметричной данной точке $A(x; y; z)$ относительно плоскости $xy$, необходимо оставить координаты $x$ и $y$ без изменений, а знак координаты $z$ изменить на противоположный. Таким образом, симметричная точка $A'$ будет иметь координаты $(x; y; -z)$.

• Для точки $M(-3; 5; -1)$ симметричной будет точка $M_2$ с координатами:
  $x' = -3$
  $y' = 5$
  $z' = -(-1) = 1$
  Координаты точки $M_2(-3; 5; 1)$.

• Для точки $P(10; -4; 4)$ симметричной будет точка $P_2$ с координатами:
  $x' = 10$
  $y' = -4$
  $z' = -4$
  Координаты точки $P_2(10; -4; -4)$.

• Для точки $N(7; -1; 0)$ симметричной будет точка $N_2$ с координатами:
  $x' = 7$
  $y' = -1$
  $z' = -0 = 0$
  Координаты точки $N_2(7; -1; 0)$. Так как точка $N$ лежит в плоскости $xy$ (ее координата $z=0$), она симметрична самой себе относительно этой плоскости.

Ответ: $M_2(-3; 5; 1)$; $P_2(10; -4; -4)$; $N_2(7; -1; 0)$.