Страница 77 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Какие из точек $A(6; -4; 10)$, $B(6; 7; -12)$, $C(4; 7; -12)$, $D(-6; 13; 10)$ лежат в одной плоскости, параллельной плоскости $yz$?

6. Какие из точек $A(6; -4; 10)$, $B(6; 7; -12)$, $C(4; 7; -12)$, $D(-6; 13; 10)$ лежат в одной плоскости, параллельной плоскости $yz$?

Плоскость, параллельная координатной плоскости $yz$, состоит из всех точек, у которых координата $x$ постоянна. Уравнение такой плоскости имеет вид $x = k$, где $k$ — некоторое число.

Чтобы определить, какие из заданных точек лежат в одной плоскости, параллельной плоскости $yz$, необходимо найти точки с одинаковой координатой $x$.

Рассмотрим координаты $x$ для каждой точки:

• Точка A$(6; -4; 10)$: $x = 6$
• Точка B$(6; 7; -12)$: $x = 6$
• Точка C$(4; 7; -12)$: $x = 4$
• Точка D$(-6; 13; 10)$: $x = -6$

Сравнивая координаты, мы видим, что у точек A и B одинаковая координата $x$, равная 6. Следовательно, они лежат в одной плоскости $x = 6$, которая параллельна плоскости $yz$. У остальных точек координаты $x$ различны.

Ответ: A и B.

7. Укажите расстояние от точки P $(5; -6; -7)$ до координатной плоскости:

1) $yz$;

2) $xz$;

3) $xy$.

7. Укажите расстояние от точки $P (5; -6; -7)$ до координатной плоскости:

1) $yz$;

2) $xz$;

3) $xy$.

1) yz;

Расстояние от точки с координатами $(x_0; y_0; z_0)$ до координатной плоскости $yz$ (плоскости, в которой все точки имеют координату $x=0$) равно модулю ее координаты $x_0$.
Для точки $P(5; -6; -7)$ координата $x_0 = 5$.
Следовательно, расстояние от точки $P$ до плоскости $yz$ составляет $d = |x_0| = |5| = 5$.
Ответ: 5

2) xz;

Расстояние от точки с координатами $(x_0; y_0; z_0)$ до координатной плоскости $xz$ (плоскости, в которой все точки имеют координату $y=0$) равно модулю ее координаты $y_0$.
Для точки $P(5; -6; -7)$ координата $y_0 = -6$.
Следовательно, расстояние от точки $P$ до плоскости $xz$ составляет $d = |y_0| = |-6| = 6$.
Ответ: 6

3) xy.

Расстояние от точки с координатами $(x_0; y_0; z_0)$ до координатной плоскости $xy$ (плоскости, в которой все точки имеют координату $z=0$) равно модулю ее координаты $z_0$.
Для точки $P(5; -6; -7)$ координата $z_0 = -7$.
Следовательно, расстояние от точки $P$ до плоскости $xy$ составляет $d = |z_0| = |-7| = 7$.
Ответ: 7

8. Найдите расстояние между точками $C (1; 3; -1)$ и $D (0; 2; 3)$.

8. Найдите расстояние между точками $C(1; 3; -1)$ и $D(0; 2; 3)$.

Для нахождения расстояния между точками C(1; 3; -1) и D(0; 2; 3) в трехмерном пространстве используется формула расстояния между двумя точками C$(x_1; y_1; z_1)$ и D$(x_2; y_2; z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Подставим координаты данных точек в формулу:

$d = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 3)^2 + (3 - (-1))^2}$

Выполним вычисления по шагам:

$d = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (3 + 1)^2}$

$d = \sqrt{1 + 1 + 4^2}$

$d = \sqrt{1 + 1 + 16}$

$d = \sqrt{18}$

Упростим полученное значение, разложив подкоренное выражение на множители:

$d = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Таким образом, расстояние между точками C и D равно $3\sqrt{2}$.

Ответ: $3\sqrt{2}$

9. Найдите расстояние от точки $F (1; -2; 3)$ до оси аппликат.

9. Найдите расстояние от точки $F(1; -2; 3)$ до оси аппликат.

Расстояние от точки до прямой в пространстве — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В данном случае прямая — это ось аппликат (ось $Oz$).

Координаты заданной точки $F(1; -2; 3)$. Ось аппликат ($Oz$) — это множество всех точек, у которых координаты $x$ и $y$ равны нулю.

Чтобы найти расстояние от точки $F(x_0; y_0; z_0)$ до оси аппликат, можно найти проекцию этой точки на ось $Oz$. Проекцией будет точка $P$ с координатами $(0; 0; z_0)$. Для точки $F(1; -2; 3)$ ее проекцией на ось $Oz$ будет точка $P(0; 0; 3)$.

Теперь найдем расстояние между точками $F(1; -2; 3)$ и $P(0; 0; 3)$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Подставим координаты наших точек:

$d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-2 - 0)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}$.

В общем виде, расстояние $d$ от точки с координатами $(x_0; y_0; z_0)$ до оси аппликат ($Oz$) вычисляется по формуле $d = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.

Применив эту формулу к точке $F(1; -2; 3)$:

$d = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

10. Расстояние между точками $A (x; 4; 12)$ и $B (3; -6; 8)$ равно $2\sqrt{30}$. Найдите значение $x$.

10. Расстояние между точками $A(x; 4; 12)$ и $B(3; -6; 8)$ равно $2\sqrt{30}$. Найдите значение $x$.

Для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ используется формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Даны координаты точек $A(x; 4; 12)$ и $B(3; -6; 8)$, а также расстояние между ними $d = 2\sqrt{30}$. Подставим эти значения в формулу:

$2\sqrt{30} = \sqrt{(3 - x)^2 + (-6 - 4)^2 + (8 - 12)^2}$

Упростим выражение под корнем:

$2\sqrt{30} = \sqrt{(3 - x)^2 + (-10)^2 + (-4)^2}$

$2\sqrt{30} = \sqrt{(3 - x)^2 + 100 + 16}$

$2\sqrt{30} = \sqrt{(3 - x)^2 + 116}$

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\sqrt{30})^2 = (\sqrt{(3 - x)^2 + 116})^2$

$4 \cdot 30 = (3 - x)^2 + 116$

$120 = (3 - x)^2 + 116$

Теперь выразим $(3 - x)^2$:

$(3 - x)^2 = 120 - 116$

$(3 - x)^2 = 4$

Это уравнение имеет два решения, так как $3 - x$ может быть равно как $2$, так и $-2$.

1) $3 - x = 2$
$-x = 2 - 3$
$-x = -1$
$x_1 = 1$

2) $3 - x = -2$
$-x = -2 - 3$
$-x = -5$
$x_2 = 5$

Таким образом, существуют два возможных значения для $x$.

Ответ: $1; 5$.

11. Найдите точку, принадлежащую оси аппликат и равноудалённую от точек $A (4; 1; -2)$ и $B (1; 0; 3)$.

11. Найдите точку, принадлежащую оси аппликат и равноудалённую от точек $A(4; 1; -2)$ и $B(1; 0; 3)$.

Пусть искомая точка M принадлежит оси аппликат (оси Oz). Любая точка на оси аппликат имеет координаты $x=0$ и $y=0$. Таким образом, координаты искомой точки можно записать как M(0; 0; z).

По условию задачи, точка M равноудалена от точек A(4; 1; -2) и B(1; 0; 3). Это означает, что расстояние от M до A равно расстоянию от M до B, то есть $MA = MB$. Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов этих расстояний: $MA^2 = MB^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками $P_1(x_1; y_1; z_1)$ и $P_2(x_2; y_2; z_2)$ в пространстве вычисляется по формуле:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

Найдем квадрат расстояния от точки M(0; 0; z) до точки A(4; 1; -2):

$MA^2 = (4 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (-2 - z)^2 = 4^2 + 1^2 + (-(2 + z))^2 = 16 + 1 + (2 + z)^2 = 17 + 4 + 4z + z^2 = 21 + 4z + z^2$.

Теперь найдем квадрат расстояния от точки M(0; 0; z) до точки B(1; 0; 3):

$MB^2 = (1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (3 - z)^2 = 1^2 + 0^2 + (3 - z)^2 = 1 + 9 - 6z + z^2 = 10 - 6z + z^2$.

Приравняем полученные выражения для $MA^2$ и $MB^2$ и решим получившееся уравнение относительно z:

$21 + 4z + z^2 = 10 - 6z + z^2$

Вычтем $z^2$ из обеих частей уравнения:

$21 + 4z = 10 - 6z$

Перенесем слагаемые, содержащие z, в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую:

$4z + 6z = 10 - 21$

$10z = -11$

$z = -11 / 10 = -1,1$

Следовательно, искомая точка на оси аппликат имеет координаты (0; 0; -1,1).

Ответ: (0; 0; -1,1).

12. Найдите координаты середины отрезка $ST$, если $S (-4; 8; -5)$, $T (8; 6; -7)$.

12. Найдите координаты середины отрезка ST, если

S $(-4; 8; -5)$, T $(8; 6; -7)$.

Чтобы найти координаты середины отрезка, нужно вычислить среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Пусть точка $M(x_M; y_M; z_M)$ является серединой отрезка $ST$ с концами в точках $S(x_S; y_S; z_S)$ и $T(x_T; y_T; z_T)$. Координаты точки $M$ находятся по следующим формулам:
$x_M = \frac{x_S + x_T}{2}$
$y_M = \frac{y_S + y_T}{2}$
$z_M = \frac{z_S + z_T}{2}$

Даны координаты точек: $S(-4; 8; -5)$ и $T(8; 6; -7)$.

Подставим значения координат в формулы:

1. Вычислим координату $x_M$:
$x_M = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

2. Вычислим координату $y_M$:
$y_M = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

3. Вычислим координату $z_M$:
$z_M = \frac{-5 + (-7)}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Следовательно, координаты середины отрезка $ST$ — это $(2; 7; -6)$.

Ответ: $(2; 7; -6)$.

13. Точка $P$ — середина отрезка $DE$. Найдите координаты точки $D$, если $E (10; -15; 2)$, $P (4,5; -1; -6)$.

13. Точка P — середина отрезка DE. Найдите координаты точки D, если E (10; –15; 2), P (4,5; –1; –6).

По условию задачи, точка P является серединой отрезка DE. Координаты середины отрезка в трехмерном пространстве находятся как среднее арифметическое соответствующих координат его концов.

Пусть искомые координаты точки D будут $(x_D; y_D; z_D)$. Нам даны координаты точки E $(10; -15; 2)$ и середины отрезка P $(4,5; -1; -6)$.

Формулы для координат середины отрезка $(x_P; y_P; z_P)$ выглядят так:

$x_P = \frac{x_D + x_E}{2}$

$y_P = \frac{y_D + y_E}{2}$

$z_P = \frac{z_D + z_E}{2}$

Чтобы найти координаты точки D, выразим их из этих формул:

$x_D = 2x_P - x_E$

$y_D = 2y_P - y_E$

$z_D = 2z_P - z_E$

Теперь подставим известные значения координат точек P и E:

Для координаты x:

$x_D = 2 \cdot 4,5 - 10 = 9 - 10 = -1$

Для координаты y:

$y_D = 2 \cdot (-1) - (-15) = -2 + 15 = 13$

Для координаты z:

$z_D = 2 \cdot (-6) - 2 = -12 - 2 = -14$

Таким образом, координаты точки D равны $(-1; 13; -14)$.

Ответ: D(-1; 13; -14).

14. Точки $M(2; -3; 1)$ и $K(4; 1; -5)$ симметричны относительно точки $A$. Найдите координаты точки $A$.

14. Точки $M (2; -3; 1)$ и $K (4; 1; -5)$ симметричны относительно точки $A$. Найдите координаты точки $A$.

Поскольку точки M(2; -3; 1) и K(4; 1; -5) симметричны относительно точки A, это означает, что точка A является серединой отрезка MK.

Координаты середины отрезка ($x_A$; $y_A$; $z_A$) находятся как среднее арифметическое (полусумма) соответствующих координат его концов M($x_M$; $y_M$; $z_M$) и K($x_K$; $y_K$; $z_K$). Для нахождения координат точки A воспользуемся следующими формулами:

$x_A = \frac{x_M + x_K}{2}$

$y_A = \frac{y_M + y_K}{2}$

$z_A = \frac{z_M + z_K}{2}$

Подставим известные координаты точек M и K в эти формулы для вычисления координат точки A:

$x_A = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_A = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$z_A = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, точка A имеет координаты (3; -1; -2).

Ответ: A(3; -1; -2).

15. Найдите координаты точек, симметричных точкам $M(-3; 5; -1)$, $P(10; -4; 4)$ и $N(7; -1; 0)$ относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $xy$.

15. Найдите координаты точек, симметричных точкам $M(-3; 5; -1)$, $P(10; -4; 4)$ и $N(7; -1; 0)$ относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $xy$.

1) начала координат;

Чтобы найти координаты точки, симметричной данной точке $A(x; y; z)$ относительно начала координат (точки $O(0; 0; 0)$), необходимо изменить знаки всех ее координат на противоположные. Таким образом, симметричная точка $A'$ будет иметь координаты $(-x; -y; -z)$.

• Для точки $M(-3; 5; -1)$ симметричной будет точка $M_1$ с координатами:
  $x' = -(-3) = 3$
  $y' = -5$
  $z' = -(-1) = 1$
  Координаты точки $M_1(3; -5; 1)$.

• Для точки $P(10; -4; 4)$ симметричной будет точка $P_1$ с координатами:
  $x' = -10$
  $y' = -(-4) = 4$
  $z' = -4$
  Координаты точки $P_1(-10; 4; -4)$.

• Для точки $N(7; -1; 0)$ симметричной будет точка $N_1$ с координатами:
  $x' = -7$
  $y' = -(-1) = 1$
  $z' = -0 = 0$
  Координаты точки $N_1(-7; 1; 0)$.

Ответ: $M_1(3; -5; 1)$; $P_1(-10; 4; -4)$; $N_1(-7; 1; 0)$.

2) плоскости xy.

Чтобы найти координаты точки, симметричной данной точке $A(x; y; z)$ относительно плоскости $xy$, необходимо оставить координаты $x$ и $y$ без изменений, а знак координаты $z$ изменить на противоположный. Таким образом, симметричная точка $A'$ будет иметь координаты $(x; y; -z)$.

• Для точки $M(-3; 5; -1)$ симметричной будет точка $M_2$ с координатами:
  $x' = -3$
  $y' = 5$
  $z' = -(-1) = 1$
  Координаты точки $M_2(-3; 5; 1)$.

• Для точки $P(10; -4; 4)$ симметричной будет точка $P_2$ с координатами:
  $x' = 10$
  $y' = -4$
  $z' = -4$
  Координаты точки $P_2(10; -4; -4)$.

• Для точки $N(7; -1; 0)$ симметричной будет точка $N_2$ с координатами:
  $x' = 7$
  $y' = -1$
  $z' = -0 = 0$
  Координаты точки $N_2(7; -1; 0)$. Так как точка $N$ лежит в плоскости $xy$ (ее координата $z=0$), она симметрична самой себе относительно этой плоскости.

Ответ: $M_2(-3; 5; 1)$; $P_2(10; -4; -4)$; $N_2(7; -1; 0)$.

16. Найдите координаты точки, которая делит отрезок $EF$ в отношении $3 : 1$, считая от точки $F$, если $E (-3; 8; -5)$, $F (-7; 6; 7)$.

16. Найдите координаты точки, которая делит отрезок $EF$ в отношении $3 : 1$, считая от точки $F$, если $E (-3; 8; -5)$, $F (-7; 6; 7)$.

Для нахождения координат точки, которая делит отрезок в заданном отношении, используется формула деления отрезка в пространстве. Пусть искомая точка P имеет координаты $(x; y; z)$.

По условию, точка P делит отрезок EF в отношении $3:1$, считая от точки F. Это означает, что отношение длины отрезка FP к длине отрезка PE равно $3:1$.

Координаты точки P, которая делит отрезок, соединяющий точку $F(x_F; y_F; z_F)$ и точку $E(x_E; y_E; z_E)$ в отношении $m:n$ (считая от F), вычисляются по следующим формулам:

$x = \frac{n \cdot x_F + m \cdot x_E}{m + n}$

$y = \frac{n \cdot y_F + m \cdot y_E}{m + n}$

$z = \frac{n \cdot z_F + m \cdot z_E}{m + n}$

В нашем случае даны:

• Координаты точки E: $(x_E; y_E; z_E) = (-3; 8; -5)$.
• Координаты точки F: $(x_F; y_F; z_F) = (-7; 6; 7)$.
• Отношение $m:n = 3:1$.

Подставим значения в формулы для вычисления каждой координаты искомой точки P.

Вычисление координаты x:

$x = \frac{1 \cdot (-7) + 3 \cdot (-3)}{3 + 1} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

Вычисление координаты y:

$y = \frac{1 \cdot 6 + 3 \cdot 8}{3 + 1} = \frac{6 + 24}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$

Вычисление координаты z:

$z = \frac{1 \cdot 7 + 3 \cdot (-5)}{3 + 1} = \frac{7 - 15}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Таким образом, координаты точки, которая делит отрезок EF в отношении $3:1$, считая от точки F, равны $(-4; 7.5; -2)$.

Ответ: $(-4; 7.5; -2)$.

17. Найдите координаты вершины $A$ параллелограмма $ABCD$, если $B(1; -4; 5)$, $C(4; -5; 2)$, $D(-2; 3; -1)$.

17. Найдите координаты вершины $A$ параллелограмма $ABCD$, если $B(1; -4; 5)$, $C(4; -5; 2)$, $D(-2; 3; -1)$.

Для нахождения координат вершины A параллелограмма ABCD можно воспользоваться свойством равенства векторов его противолежащих сторон. В параллелограмме ABCD вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$ (так как стороны AD и BC параллельны, равны по длине и одинаково направлены).

Пусть искомые координаты вершины A будут $(x_A, y_A, z_A)$. Из условия задачи известны координаты остальных вершин: $B(1; -4; 5)$, $C(4; -5; 2)$ и $D(-2; 3; -1)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B)$

$\vec{BC} = (4 - 1; -5 - (-4); 2 - 5) = (3; -1; -3)$

2. Выразим координаты вектора $\vec{AD}$ через неизвестные координаты вершины A:

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A)$

$\vec{AD} = (-2 - x_A; 3 - y_A; -1 - z_A)$

3. Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, их соответствующие координаты должны быть равны. Приравняем их и составим систему уравнений:

$ \begin{cases} -2 - x_A = 3 \\ 3 - y_A = -1 \\ -1 - z_A = -3 \end{cases} $

4. Решим эту систему, чтобы найти $x_A$, $y_A$ и $z_A$:

Из первого уравнения: $x_A = -2 - 3 = -5$
Из второго уравнения: $y_A = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$
Из третьего уравнения: $z_A = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$

Таким образом, мы получили координаты вершины A.

Ответ: $A(-5; 4; 2)$

18. Точки $A_1 (4; 2; -3)$ и $B_1 (-3; 2; 1)$ — середины сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $A$ и $C$, если вершина $B$ имеет координаты $(-2; -1; 2)$.

18. Точки $A_1 (4; 2; -3)$ и $B_1 (-3; 2; 1)$ — середины сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $A$ и $C$, если вершина $B$ имеет координаты $(-2; -1; 2)$.

Пусть координаты вершин треугольника $ABC$ заданы как $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $C(x_C, y_C, z_C)$.

По условию задачи нам даны:

• Координаты точки $A_1(4; 2; -3)$, которая является серединой стороны $BC$.
• Координаты точки $B_1(-3; 2; 1)$, которая является серединой стороны $AC$.
• Координаты вершины $B(-2; -1; 2)$.

Координаты $(x_m, y_m, z_m)$ середины отрезка, концы которого имеют координаты $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$, вычисляются по формулам:

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$, $z_m = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Из этих формул можно выразить координаты одного из концов отрезка, если известны координаты другого конца и середины:

$x_2 = 2x_m - x_1$, $y_2 = 2y_m - y_1$, $z_2 = 2z_m - z_1$

Координаты вершины C

Так как точка $A_1$ является серединой стороны $BC$, мы можем найти координаты вершины $C$, используя координаты вершины $B$ и точки $A_1$.

$x_C = 2x_{A1} - x_B = 2 \cdot 4 - (-2) = 8 + 2 = 10$

$y_C = 2y_{A1} - y_B = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5$

$z_C = 2z_{A1} - z_B = 2 \cdot (-3) - 2 = -6 - 2 = -8$

Следовательно, вершина $C$ имеет координаты $(10; 5; -8)$.

Ответ: $C(10; 5; -8)$

Координаты вершины A

Аналогично, точка $B_1$ является серединой стороны $AC$. Зная координаты вершины $C$ и точки $B_1$, мы можем найти координаты вершины $A$.

$x_A = 2x_{B1} - x_C = 2 \cdot (-3) - 10 = -6 - 10 = -16$

$y_A = 2y_{B1} - y_C = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$

$z_A = 2z_{B1} - z_C = 2 \cdot 1 - (-8) = 2 + 8 = 10$

Следовательно, вершина $A$ имеет координаты $(-16; -1; 10)$.

Ответ: $A(-16; -1; 10)$

19. Даны точки $A (5; 4; 3)$, $B (3; 0; 7)$, $C (1; -2; 3)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно.

19. Даны точки $A (5; 4; 3)$, $B (3; 0; 7)$, $C (1; -2; 3)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно.

По определению, средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. В данном случае, средняя линия $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, её длина равна половине длины стороны $BC$.

$MN = \frac{1}{2} BC$

Сначала найдем длину стороны $BC$, используя формулу расстояния между двумя точками $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и $P_2(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Координаты точек: $B(3; 0; 7)$ и $C(1; -2; 3)$.

Подставим координаты в формулу:

$BC = \sqrt{(1 - 3)^2 + (-2 - 0)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24}$

Упростим полученное значение:

$BC = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Теперь мы можем найти длину средней линии $MN$:

$MN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$

20. Найдите координаты точек $A$ и $B$ и отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит оси $x$, точка $B$ лежит в плоскости $yz$ и точка $C (-5; 4; 1)$ — середина отрезка $AB$.

20. Найдите координаты точек $A$ и $B$ и отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит оси $x$, точка $B$ лежит в плоскости $yz$ и точка $C(-5; 4; 1)$ — середина отрезка $AB$.

Пусть координаты точки A будут $(x_A, y_A, z_A)$, а координаты точки B - $(x_B, y_B, z_B)$.

По условию, точка A принадлежит оси x. Это значит, что ее координаты y и z равны нулю: $y_A = 0$, $z_A = 0$. Таким образом, точка A имеет координаты $A(x_A; 0; 0)$.

Точка B лежит в плоскости yz. Это значит, что ее координата x равна нулю: $x_B = 0$. Таким образом, точка B имеет координаты $B(0; y_B; z_B)$.

Точка C с координатами $(-5; 4; 1)$ является серединой отрезка AB. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов по формулам:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$
$z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$

Координаты точек А и В

Подставим известные значения в формулы для нахождения неизвестных координат точек A и B.
Для координаты x:
$-5 = \frac{x_A + 0}{2} \implies x_A = -5 \cdot 2 = -10$.
Для координаты y:
$4 = \frac{0 + y_B}{2} \implies y_B = 4 \cdot 2 = 8$.
Для координаты z:
$1 = \frac{0 + z_B}{2} \implies z_B = 1 \cdot 2 = 2$.
Таким образом, координаты точки A: $(-10; 0; 0)$, а координаты точки B: $(0; 8; 2)$.
Ответ: $A(-10; 0; 0)$, $B(0; 8; 2)$.

Отрезок АВ

Под нахождением отрезка AB подразумевается нахождение его длины. Длину отрезка AB найдем по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:
$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
Подставим найденные координаты точек $A(-10; 0; 0)$ и $B(0; 8; 2)$:
$AB = \sqrt{(0 - (-10))^2 + (8 - 0)^2 + (2 - 0)^2}$
$AB = \sqrt{10^2 + 8^2 + 2^2}$
$AB = \sqrt{100 + 64 + 4}$
$AB = \sqrt{168}$.
Упростим полученное значение, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{168} = \sqrt{4 \cdot 42} = 2\sqrt{42}$.
Ответ: Длина отрезка AB равна $2\sqrt{42}$.