Страница 79 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: $A (4; -5; -2)$, $B (2; 3; -8)$ и $D (-3; -4; 6)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $C$.

30. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A (4; -5; -2)$, $B (2; 3; -8)$ и $D (-3; -4; 6)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $C$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны. Это означает, что векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Воспользуемся свойством равенства векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ (также можно использовать равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$).

Пусть искомая вершина $C$ имеет координаты $(x_C; y_C; z_C)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AD}$, зная координаты точек $A(4; -5; -2)$ и $D(-3; -4; 6)$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала:

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (-3 - 4; -4 - (-5); 6 - (-2)) = (-7; 1; 8)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точки $B(2; 3; -8)$ и используя переменные для точки $C(x_C; y_C; z_C)$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (x_C - 2; y_C - 3; z_C - (-8)) = (x_C - 2; y_C - 3; z_C + 8)$.

3. Приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$, так как $\vec{AD} = \vec{BC}$:

• $x_C - 2 = -7$
• $y_C - 3 = 1$
• $z_C + 8 = 8$

4. Решим полученные уравнения, чтобы найти координаты точки $C$:

• $x_C = -7 + 2 = -5$
• $y_C = 1 + 3 = 4$
• $z_C = 8 - 8 = 0$

Таким образом, координаты вершины $C$ равны $(-5; 4; 0)$.

Ответ: $C(-5; 4; 0)$

31. Найдите среди векторов $\vec{a} (-6; 6; 3)$, $\vec{b} (7; -1; \sqrt{6})$, $\vec{c} (\sqrt{11}; -2\sqrt{10}; 2)$, $\vec{d} (-5; 4; 2\sqrt{10})$ и $\vec{m} (6; -4; 2)$ векторы, имеющие равные модули.

31. Найдите среди векторов $\vec{a} (-6; 6; 3)$, $\vec{b} (7; -1; \sqrt{6})$, $\vec{c} (\sqrt{11}; -2\sqrt{10}; 2)$, $\vec{d} (-5; 4; 2\sqrt{10})$ и $\vec{m} (6; -4; 2)$ векторы, имеющие равные модули.

Для того чтобы найти векторы с равными модулями, необходимо вычислить модуль (длину) каждого из заданных векторов. Модуль вектора $\vec{v}(x; y; z)$ вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Вычислим модули для каждого вектора.

$\vec{a}(-6; 6; 3)$

Модуль вектора $\vec{a}$ равен:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9$.

$\vec{b}(7; -1; \sqrt{6})$

Модуль вектора $\vec{b}$ равен:

$|\vec{b}| = \sqrt{7^2 + (-1)^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{49 + 1 + 6} = \sqrt{56}$.

$\vec{c}(\sqrt{11}; -2\sqrt{10}; 2)$

Модуль вектора $\vec{c}$ равен:

$|\vec{c}| = \sqrt{(\sqrt{11})^2 + (-2\sqrt{10})^2 + 2^2} = \sqrt{11 + 4 \cdot 10 + 4} = \sqrt{11 + 40 + 4} = \sqrt{55}$.

$\vec{d}(-5; 4; 2\sqrt{10})$

Модуль вектора $\vec{d}$ равен:

$|\vec{d}| = \sqrt{(-5)^2 + 4^2 + (2\sqrt{10})^2} = \sqrt{25 + 16 + 4 \cdot 10} = \sqrt{25 + 16 + 40} = \sqrt{81} = 9$.

$\vec{m}(6; -4; 2)$

Модуль вектора $\vec{m}$ равен:

$|\vec{m}| = \sqrt{6^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}$.

Теперь сравним полученные значения модулей. Мы видим, что есть две пары векторов с равными модулями:

$|\vec{a}| = |\vec{d}| = 9$

$|\vec{b}| = |\vec{m}| = \sqrt{56}$

Ответ: векторы с равными модулями: $\vec{a}$ и $\vec{d}$; $\vec{b}$ и $\vec{m}$.

32. Найдите модуль вектора $\overrightarrow{AM}$, если $A (-4; 6; -3)$, $M (2; 3; 0)$.

32. Найдите модуль вектора $\vec{AM}$, если $A(-4; 6; -3)$, $M(2; 3; 0)$.

Для нахождения модуля вектора $\vec{AM}$ необходимо выполнить два шага: сначала найти координаты самого вектора, а затем вычислить его модуль (длину).

1. Нахождение координат вектора $\vec{AM}$

Координаты вектора, заданного двумя точками $A(x_1; y_1; z_1)$ и $M(x_2; y_2; z_2)$, вычисляются по формуле:

$\vec{AM} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$

Подставим координаты точек $A(-4; 6; -3)$ и $M(2; 3; 0)$:

$\vec{AM} = (2 - (-4); 3 - 6; 0 - (-3))$

$\vec{AM} = (2 + 4; -3; 0 + 3)$

$\vec{AM} = (6; -3; 3)$

2. Нахождение модуля вектора $\vec{AM}$

Модуль (длина) вектора $\vec{a}(x; y; z)$ обозначается как $|\vec{a}|$ и вычисляется по формуле:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Подставим найденные координаты вектора $\vec{AM} = (6; -3; 3)$ в эту формулу:

$|\vec{AM}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 3^2}$

$|\vec{AM}| = \sqrt{36 + 9 + 9}$

$|\vec{AM}| = \sqrt{54}$

Упростим корень, вынеся множитель:

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

Ответ: $3\sqrt{6}$

33. Модуль вектора $\vec{p}(-1; y; 7)$ равен 8. Найдите значение $y$.

33. Модуль вектора $\vec{p} (-1; y; 7)$ равен 8. Найдите значение $y$.

Модуль (длина) вектора $\vec{a}(x; y; z)$ в трехмерном пространстве находится по формуле:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

В нашем случае дан вектор $\vec{p}(-1; y; 7)$, и его модуль равен 8. Подставим координаты вектора и значение его модуля в формулу:

$\sqrt{(-1)^2 + y^2 + 7^2} = 8$

Для того чтобы решить это уравнение относительно $y$, возведем обе части в квадрат:

$(-1)^2 + y^2 + 7^2 = 8^2$

Выполним вычисления:

$1 + y^2 + 49 = 64$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$50 + y^2 = 64$

Выразим $y^2$:

$y^2 = 64 - 50$

$y^2 = 14$

Теперь найдем значения $y$, извлекая квадратный корень из 14:

$y_1 = \sqrt{14}$

$y_2 = -\sqrt{14}$

Ответ: $y = \pm\sqrt{14}$.

34. Модуль вектора $\vec{m} (x; y; z)$ равен $2\sqrt{3}$, его координаты y и z равны, а координаты x и y — противоположные числа. Найдите координаты вектора $\vec{m}$.

34. Модуль вектора $\vec{m} (x; y; z)$ равен $2\sqrt{3}$, его координаты $y$ и $z$ равны, а координаты $x$ и $y$ — противоположные числа. Найдите координаты вектора $\vec{m}$.

Пусть дан вектор $\vec{m}$ с координатами $(x; y; z)$.

По условию задачи известны следующие факты:

1. Модуль (длина) вектора $|\vec{m}| = 2\sqrt{3}$.

2. Координаты $y$ и $z$ равны, то есть $y = z$.

3. Координаты $x$ и $y$ — противоположные числа, то есть $x = -y$.

Модуль вектора вычисляется по формуле: $|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Подставим известные данные в эту формулу. Заменим $x$ на $-y$ и $z$ на $y$:

$\sqrt{(-y)^2 + y^2 + y^2} = 2\sqrt{3}$

Упростим выражение под корнем:

$\sqrt{y^2 + y^2 + y^2} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{3y^2} = 2\sqrt{3}$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3y^2})^2 = (2\sqrt{3})^2$

$3y^2 = 4 \cdot 3$

$3y^2 = 12$

$y^2 = \frac{12}{3}$

$y^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Рассмотрим оба случая, чтобы найти соответствующие значения $x$ и $z$.

Случай 1: Если $y = 2$.

Тогда $z = y = 2$ и $x = -y = -2$.

Координаты вектора: $(-2; 2; 2)$.

Случай 2: Если $y = -2$.

Тогда $z = y = -2$ и $x = -y = -(-2) = 2$.

Координаты вектора: $(2; -2; -2)$.

Таким образом, существуют два вектора, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: $(-2; 2; 2)$ или $(2; -2; -2)$.

35. Найдите точку, являющуюся образом точки A $(1; -4; 7)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{c}(-6; 3; 2)$.

35. Найдите точку, являющуюся образом точки $A(1; -4; 7)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{c}(-6; 3; 2)$.

При параллельном переносе точки на вектор к координатам точки прибавляются соответствующие координаты вектора.

Пусть дана точка $A(x_A; y_A; z_A)$ и вектор переноса $\vec{c}(c_x; c_y; c_z)$. Точка $A'$, являющаяся образом точки $A$ при параллельном переносе на вектор $\vec{c}$, будет иметь координаты $(x_{A'}; y_{A'}; z_{A'})$, которые вычисляются по следующим формулам:
$x_{A'} = x_A + c_x$
$y_{A'} = y_A + c_y$
$z_{A'} = z_A + c_z$

По условию задачи имеем:
- Координаты исходной точки $A(1; -4; 7)$.
- Координаты вектора переноса $\vec{c}(-6; 3; 2)$.

Вычислим координаты точки-образа $A'$:
$x_{A'} = 1 + (-6) = -5$
$y_{A'} = -4 + 3 = -1$
$z_{A'} = 7 + 2 = 9$

Следовательно, образом точки A является точка с координатами $(-5; -1; 9)$.

Ответ: $(-5; -1; 9)$.

36. Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки $P(2; 4; -12)$ является точка $P_1(1; -1; -3)$, а образом точки $K(-3; 16; -8)$ — точка $K_1(-4; 11; 1)$?

36. Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки $P (2; 4; –12)$ является точка $P_1 (1; –1; –3)$, а образом точки $K (–3; 16; –8)$ — точка $K_1 (–4; 11; 1)$?

Для того чтобы существовал параллельный перенос, переводящий точку $P$ в $P_1$ и одновременно точку $K$ в $K_1$, необходимо и достаточно, чтобы вектор переноса, определяемый первой парой точек ($\vec{PP_1}$), был равен вектору переноса, определяемому второй парой точек ($\vec{KK_1}$).

Найдем координаты вектора переноса $\vec{a} = \vec{PP_1}$ для точек $P(2; 4; -12)$ и $P_1(1; -1; -3)$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала:

$\vec{a} = (1 - 2; -1 - 4; -3 - (-12)) = (-1; -5; -3 + 12) = (-1; -5; 9)$.

Теперь найдем координаты вектора переноса $\vec{b} = \vec{KK_1}$ для точек $K(-3; 16; -8)$ и $K_1(-4; 11; 1)$:

$\vec{b} = (-4 - (-3); 11 - 16; 1 - (-8)) = (-4 + 3; -5; 1 + 8) = (-1; -5; 9)$.

Сравнивая полученные векторы, видим, что их соответствующие координаты равны:

$\vec{a} = (-1; -5; 9)$

$\vec{b} = (-1; -5; 9)$

Поскольку векторы переноса $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то такой параллельный перенос, который переводит точку $P$ в $P_1$ и точку $K$ в $K_1$, существует. Он задается вектором с координатами $(-1; -5; 9)$.

Ответ: да, существует.

37. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 24). Найдите сумму векторов:

1) $ \vec{BB_1} + \vec{A_1C_1} $;

2) $ \vec{BC_1} + \vec{A_1A} $.

Рис. 24

37. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 24). Найдите сумму векторов:

1) $\vec{BB_1} + \vec{A_1C_1}$;

2) $\vec{BC_1} + \vec{A_1A}$.

Рис. 24

1) $\vec{BB_1} + \vec{A_1C_1}$

Для нахождения суммы векторов воспользуемся свойствами призмы. В призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые ребра параллельны и равны, следовательно, соответствующие им векторы равны. В частности, вектор $\vec{BB_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$.

Заменим в исходном выражении вектор $\vec{BB_1}$ на равный ему вектор $\vec{AA_1}$:

$\vec{BB_1} + \vec{A_1C_1} = \vec{AA_1} + \vec{A_1C_1}$

Теперь мы можем применить правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов. Согласно этому правилу, сумма векторов, у которых начало второго совпадает с концом первого, равна вектору, направленному от начала первого к концу второго.

$\vec{AA_1} + \vec{A_1C_1} = \vec{AC_1}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна вектору $\vec{AC_1}$.

Ответ: $\vec{AC_1}$

2) $\vec{BC_1} + \vec{A_1A}$

Аналогично первому пункту, воспользуемся свойством равенства векторов боковых ребер. Вектор $\vec{A_1A}$ направлен в противоположную сторону вектору $\vec{AA_1}$. Так как в призме $\vec{AA_1} = \vec{CC_1}$, то $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1} = -\vec{CC_1} = \vec{C_1C}$.

Заменим в исходном выражении вектор $\vec{A_1A}$ на равный ему вектор $\vec{C_1C}$:

$\vec{BC_1} + \vec{A_1A} = \vec{BC_1} + \vec{C_1C}$

Применим правило треугольника для сложения векторов:

$\vec{BC_1} + \vec{C_1C} = \vec{BC}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна вектору $\vec{BC}$.

Ответ: $\vec{BC}$

38. На рисунке 25 изображён параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов:

1) $\vec{B_1A} + \vec{D_1C_1}$;

2) $\vec{DC} + \vec{BB_1} + \vec{C_1A}$.

Рис. 25

38. На рисунке 25 изображён параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов:

1) $\vec{B_1A} + \vec{D_1C}$;

2) $\vec{DC} + \vec{BB_1} + \vec{C_1A}$.

Рис. 25

1) Для нахождения суммы векторов $ \vec{B_{1}A} + \vec{D_{1}C_{1}} $ воспользуемся свойствами параллелепипеда. В параллелепипеде $ ABCD A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} $ грань $ A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} $ является параллелограммом, поэтому векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны: $ \vec{D_{1}C_{1}} = \vec{A_{1}B_{1}} $. Заменим вектор $ \vec{D_{1}C_{1}} $ в исходном выражении: $ \vec{B_{1}A} + \vec{D_{1}C_{1}} = \vec{B_{1}A} + \vec{A_{1}B_{1}} $. Переставим векторы местами для удобства применения правила сложения: $ \vec{A_{1}B_{1}} + \vec{B_{1}A} $. Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма этих векторов равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка $ A_{1} $) с концом второго вектора (точка $ A $): $ \vec{A_{1}B_{1}} + \vec{B_{1}A} = \vec{A_{1}A} $.
Ответ: $ \vec{A_{1}A} $

2) Для нахождения суммы векторов $ \vec{DC} + \vec{BB_{1}} + \vec{C_{1}A} $ также используем свойства параллелепипеда. Векторы, соответствующие параллельным ребрам одинаковой длины и направления, равны. В частности, $ \vec{BB_{1}} = \vec{CC_{1}} $, так как ребра $ BB_{1} $ и $ CC_{1} $ параллельны, сонаправлены и равны по длине. Произведем замену в исходном выражении: $ \vec{DC} + \vec{BB_{1}} + \vec{C_{1}A} = \vec{DC} + \vec{CC_{1}} + \vec{C_{1}A} $. Теперь мы можем последовательно сложить векторы, используя правило многоугольника, так как конец предыдущего вектора совпадает с началом следующего. Сложим первые два вектора: $ \vec{DC} + \vec{CC_{1}} = \vec{DC_{1}} $. Теперь выражение принимает вид: $ \vec{DC_{1}} + \vec{C_{1}A} $. Сложив оставшиеся векторы, получаем: $ \vec{DC_{1}} + \vec{C_{1}A} = \vec{DA} $. Следовательно, искомая сумма равна $ \vec{DA} $.
Ответ: $ \vec{DA} $