Номер 37, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 24). Найдите сумму векторов:

1) $ \vec{BB_1} + \vec{A_1C_1} $;

2) $ \vec{BC_1} + \vec{A_1A} $.

Рис. 24

37. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 24). Найдите сумму векторов:

1) $\vec{BB_1} + \vec{A_1C_1}$;

2) $\vec{BC_1} + \vec{A_1A}$.

Рис. 24

1) $\vec{BB_1} + \vec{A_1C_1}$

Для нахождения суммы векторов воспользуемся свойствами призмы. В призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые ребра параллельны и равны, следовательно, соответствующие им векторы равны. В частности, вектор $\vec{BB_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$.

Заменим в исходном выражении вектор $\vec{BB_1}$ на равный ему вектор $\vec{AA_1}$:

$\vec{BB_1} + \vec{A_1C_1} = \vec{AA_1} + \vec{A_1C_1}$

Теперь мы можем применить правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов. Согласно этому правилу, сумма векторов, у которых начало второго совпадает с концом первого, равна вектору, направленному от начала первого к концу второго.

$\vec{AA_1} + \vec{A_1C_1} = \vec{AC_1}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна вектору $\vec{AC_1}$.

Ответ: $\vec{AC_1}$

2) $\vec{BC_1} + \vec{A_1A}$

Аналогично первому пункту, воспользуемся свойством равенства векторов боковых ребер. Вектор $\vec{A_1A}$ направлен в противоположную сторону вектору $\vec{AA_1}$. Так как в призме $\vec{AA_1} = \vec{CC_1}$, то $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1} = -\vec{CC_1} = \vec{C_1C}$.

Заменим в исходном выражении вектор $\vec{A_1A}$ на равный ему вектор $\vec{C_1C}$:

$\vec{BC_1} + \vec{A_1A} = \vec{BC_1} + \vec{C_1C}$

Применим правило треугольника для сложения векторов:

$\vec{BC_1} + \vec{C_1C} = \vec{BC}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна вектору $\vec{BC}$.

Ответ: $\vec{BC}$