Номер 38, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. На рисунке 25 изображён параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов:

1) $\vec{B_1A} + \vec{D_1C_1}$;

2) $\vec{DC} + \vec{BB_1} + \vec{C_1A}$.

Рис. 25

38. На рисунке 25 изображён параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов:

1) $\vec{B_1A} + \vec{D_1C}$;

2) $\vec{DC} + \vec{BB_1} + \vec{C_1A}$.

Рис. 25

1) Для нахождения суммы векторов $ \vec{B_{1}A} + \vec{D_{1}C_{1}} $ воспользуемся свойствами параллелепипеда. В параллелепипеде $ ABCD A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} $ грань $ A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} $ является параллелограммом, поэтому векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны: $ \vec{D_{1}C_{1}} = \vec{A_{1}B_{1}} $. Заменим вектор $ \vec{D_{1}C_{1}} $ в исходном выражении: $ \vec{B_{1}A} + \vec{D_{1}C_{1}} = \vec{B_{1}A} + \vec{A_{1}B_{1}} $. Переставим векторы местами для удобства применения правила сложения: $ \vec{A_{1}B_{1}} + \vec{B_{1}A} $. Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма этих векторов равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка $ A_{1} $) с концом второго вектора (точка $ A $): $ \vec{A_{1}B_{1}} + \vec{B_{1}A} = \vec{A_{1}A} $.
Ответ: $ \vec{A_{1}A} $

2) Для нахождения суммы векторов $ \vec{DC} + \vec{BB_{1}} + \vec{C_{1}A} $ также используем свойства параллелепипеда. Векторы, соответствующие параллельным ребрам одинаковой длины и направления, равны. В частности, $ \vec{BB_{1}} = \vec{CC_{1}} $, так как ребра $ BB_{1} $ и $ CC_{1} $ параллельны, сонаправлены и равны по длине. Произведем замену в исходном выражении: $ \vec{DC} + \vec{BB_{1}} + \vec{C_{1}A} = \vec{DC} + \vec{CC_{1}} + \vec{C_{1}A} $. Теперь мы можем последовательно сложить векторы, используя правило многоугольника, так как конец предыдущего вектора совпадает с началом следующего. Сложим первые два вектора: $ \vec{DC} + \vec{CC_{1}} = \vec{DC_{1}} $. Теперь выражение принимает вид: $ \vec{DC_{1}} + \vec{C_{1}A} $. Сложив оставшиеся векторы, получаем: $ \vec{DC_{1}} + \vec{C_{1}A} = \vec{DA} $. Следовательно, искомая сумма равна $ \vec{DA} $.
Ответ: $ \vec{DA} $