Номер 45, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите все векторы, противоположные вектору:

1) $\vec{CD}$;

2) $\vec{B_1C}$;

3) $\vec{A_1C}$, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда.

45. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите все векторы, противоположные вектору:

1) $\vec{CD}$;

2) $\vec{B_1C}$;

3) $\vec{A_1C}$, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда.

Два вектора называются противоположными, если они имеют равные длины (модули) и противоположные направления. Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, есть вектор $-\vec{a}$. Для вектора $\vec{XY}$ противоположным будет вектор $-\vec{XY} = \vec{YX}$. Задача состоит в том, чтобы найти все векторы, равные противоположному к данному, с началом и концом в вершинах параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вектор, противоположный вектору $\vec{CD}$, это вектор $-\vec{CD} = \vec{DC}$.
Найдём все векторы, равные вектору $\vec{DC}$. В параллелепипеде ребра, параллельные друг другу, равны по длине. Векторы, направленные вдоль этих ребер в одну сторону, равны. Вектору $\vec{DC}$ равны следующие векторы:
- $\vec{AB}$ (так как $ABCD$ — параллелограмм, $\vec{DC} = \vec{AB}$);
- $\vec{D_1C_1}$ (так как $DCC_1D_1$ — параллелограмм, $\vec{DC} = \vec{D_1C_1}$);
- $\vec{A_1B_1}$ (так как $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, $\vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$).
Таким образом, все четыре вектора $\vec{DC}, \vec{AB}, \vec{A_1B_1}, \vec{D_1C_1}$ равны между собой.

Ответ: $\vec{DC}, \vec{AB}, \vec{A_1B_1}, \vec{D_1C_1}$.

Вектор, противоположный вектору $\vec{B_1C}$, это вектор $-\vec{B_1C} = \vec{CB_1}$.
Вектор $\vec{CB_1}$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Противоположная ей грань $ADD_1A_1$ параллельна и равна ей. При параллельном переносе, который совмещает грань $BCC_1B_1$ с гранью $ADD_1A_1$ (например, на вектор $\vec{BA}$), вектор-диагональ $\vec{CB_1}$ переходит в равный ему вектор-диагональ $\vec{DA_1}$.
Следовательно, $\vec{CB_1} = \vec{DA_1}$. Других векторов, равных $\vec{CB_1}$ и соединяющих вершины параллелепипеда, нет.

Ответ: $\vec{CB_1}, \vec{DA_1}$.

Вектор, противоположный вектору $\vec{A_1C}$, это вектор $-\vec{A_1C} = \vec{CA_1}$.
Вектор $\vec{CA_1}$ является пространственной диагональю параллелепипеда. Он соединяет противоположные вершины $C$ и $A_1$. В параллелепипеде нет другого отрезка, который был бы параллелен, равен по длине и одинаково направлен с отрезком $CA_1$, и концы которого находились бы в вершинах. Поэтому существует только один такой вектор.

Ответ: $\vec{CA_1}$.