Номер 49, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$, $AC = 16$ см, $\angle CAD = 30^\circ$. Найдите модуль вектора $\vec{c} = \vec{MB} - \vec{MD} - \vec{DA}$.

49. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$, $AC = 16$ см, $\angle CAD = 30^\circ$. Найдите модуль вектора $\vec{c} = \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MD} - \overrightarrow{DA}$.

Для решения задачи сначала упростим заданное векторное выражение $\vec{c} = \vec{MB} - \vec{MD} - \vec{DA}$.

Используем правило вычитания векторов, исходящих из одной точки: разность векторов $\vec{MB}$ и $\vec{MD}$ равна вектору $\vec{DB}$, который соединяет их концы (направлен от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого). Таким образом, $\vec{MB} - \vec{MD} = \vec{DB}$.

Подставим полученное выражение в исходное: $\vec{c} = \vec{DB} - \vec{DA}$.

Применим правило вычитания векторов еще раз для векторов $\vec{DB}$ и $\vec{DA}$, которые также исходят из одной точки $D$. Их разность равна вектору $\vec{AB}$. $\vec{DB} - \vec{DA} = \vec{AB}$. Это также можно проверить по правилу сложения векторов (правило треугольника): $\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$, из чего следует, что $\vec{AB} = \vec{DB} - \vec{DA}$.

В результате упрощения мы получили, что $\vec{c} = \vec{AB}$.

Модуль вектора $\vec{c}$ равен его длине, то есть длине вектора $\vec{AB}$. Длина вектора $\vec{AB}$ совпадает с длиной стороны $AB$ прямоугольника $ABCD$. $|\vec{c}| = |\vec{AB}| = AB$.

Теперь найдем длину стороны $AB$. Основанием пирамиды является прямоугольник $ABCD$, поэтому $AB = CD$ и все углы прямые, в частности $\angle D = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. По условию, гипотенуза $AC = 16$ см, а угол $\angle CAD = 30^\circ$.

Катет $CD$ лежит напротив угла $\angle CAD$. Длину этого катета можно найти через синус угла: $CD = AC \cdot \sin(\angle CAD)$.

Подставим известные значения: $CD = 16 \cdot \sin(30^\circ)$.

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, вычисляем: $CD = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.

Так как в прямоугольнике противолежащие стороны равны, $AB = CD = 8$ см. Следовательно, модуль искомого вектора равен: $|\vec{c}| = AB = 8$ см.

Ответ: 8 см.