Номер 48, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов $\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{D_1C_1} + \vec{C_1B} + \vec{C_1D}$.

48. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите сумму векторов $\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{D_1C_1} + \vec{C_1B} + \vec{C_1D}$.

Для нахождения суммы векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{D_1C_1} + \overrightarrow{C_1B} + \overrightarrow{C_1D}$ воспользуемся свойствами параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и правилами сложения векторов.

1. В параллелепипеде векторы, соответствующие параллельным, сонаправленным и равным по длине рёбрам, равны. Начнём с замены некоторых векторов в выражении на равные им, чтобы облегчить дальнейшие преобразования.

• Вектор $\overrightarrow{D_1C_1}$ равен вектору $\overrightarrow{AB}$, так как $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — равные параллелограммы, а рёбра $AB$ и $D_1C_1$ параллельны и сонаправлены. То есть, $\overrightarrow{D_1C_1} = \overrightarrow{AB}$.
• Вектор $\overrightarrow{C_1B}$ равен вектору $\overrightarrow{D_1A}$. Это можно доказать, разложив оба вектора: $\overrightarrow{C_1B} = \overrightarrow{C_1B_1} + \overrightarrow{B_1B}$ и $\overrightarrow{D_1A} = \overrightarrow{D_1A_1} + \overrightarrow{A_1A}$. Поскольку $\overrightarrow{C_1B_1} = \overrightarrow{D_1A_1}$ (свойства грани $A_1B_1C_1D_1$) и $\overrightarrow{B_1B} = \overrightarrow{A_1A}$ (свойства боковых рёбер), то равенство $\overrightarrow{C_1B} = \overrightarrow{D_1A}$ верно.

2. Разложим оставшийся сложный вектор $\overrightarrow{C_1D}$ по правилу треугольника, используя смежные вершины: $\overrightarrow{C_1D} = \overrightarrow{C_1D_1} + \overrightarrow{D_1D}$.

3. Теперь подставим все эти эквивалентные выражения и разложения в исходную сумму, которую обозначим как $S$:

$S = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + (\overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{D_1A}) + (\overrightarrow{C_1D_1} + \overrightarrow{D_1D})$

4. Продолжим упрощение, заменив вектор $\overrightarrow{C_1D_1}$ на равный ему вектор $\overrightarrow{BA}$ (так как $\overrightarrow{C_1D_1}$ и $\overrightarrow{BA}$ параллельны, сонаправлены и равны по длине).

$S = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{D_1A} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{D_1D}$

5. Перегруппируем слагаемые для удобства вычисления:

$S = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}) + (\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{D_1D}) + \overrightarrow{D_1A}$

6. Упростим выражения в каждой из скобок:

• Поскольку $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, первая скобка упрощается до: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}$.
• Поскольку $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{DD_1}$, то вектор $\overrightarrow{D_1D}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{AA_1}$ ($\overrightarrow{D_1D} = -\overrightarrow{DD_1} = -\overrightarrow{AA_1}$). Таким образом, их сумма равна нулевому вектору: $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{D_1D} = \overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AA_1} = \vec{0}$.

7. Подставим упрощенные значения обратно в выражение для $S$:

$S = \overrightarrow{AB} + \vec{0} + \overrightarrow{D_1A}$

$S = \overrightarrow{D_1A} + \overrightarrow{AB}$

8. Наконец, применим правило треугольника (также известное как правило Шаля) для сложения векторов $\overrightarrow{D_1A}$ и $\overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{D_1A} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D_1B}$

Ответ: $\overrightarrow{D_1B}$