Номер 47, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Упростите выражение:

1) $\vec{BD} + \vec{AM} + \vec{DC} + \vec{MF} + \vec{FT} + \vec{CB};$

2) $\vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD}.$

47. Упростите выражение:

1) $\vec{BD} + \vec{AM} + \vec{DC} + \vec{MF} + \vec{FT} + \vec{CB};$

2) $\vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD}.$

Чтобы упростить выражение $\vec{BD} + \vec{AM} + \vec{DC} + \vec{MF} + \vec{FT} + \vec{CB}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило многоугольника или правило Шаля), которое гласит, что сумма векторов, образующих ломаную линию, равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом последнего. Для этого сгруппируем векторы в удобном порядке.

Исходное выражение: $\vec{BD} + \vec{AM} + \vec{DC} + \vec{MF} + \vec{FT} + \vec{CB}$.

Сгруппируем слагаемые, чтобы можно было применить правило Шаля:
$(\vec{AM} + \vec{MF} + \vec{FT}) + (\vec{BD} + \vec{DC}) + \vec{CB}$

Упростим первую группу, последовательно складывая векторы:
$\vec{AM} + \vec{MF} + \vec{FT} = (\vec{AM} + \vec{MF}) + \vec{FT} = \vec{AF} + \vec{FT} = \vec{AT}$

Упростим вторую группу:
$\vec{BD} + \vec{DC} = \vec{BC}$

Подставим полученные результаты обратно в выражение:
$\vec{AT} + \vec{BC} + \vec{CB}$

Сложим векторы $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$. Эти векторы противоположны, поэтому их сумма равна нулевому вектору:
$\vec{BC} + \vec{CB} = \vec{BB} = \vec{0}$

Таким образом, итоговое выражение равно:
$\vec{AT} + \vec{0} = \vec{AT}$

Ответ: $\vec{AT}$

Чтобы упростить выражение $\vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD}$, сначала заменим вычитание векторов на сложение с противоположными векторами, используя правило $-\vec{XY} = \vec{YX}$.

Исходное выражение: $\vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD}$.

Преобразуем вычитание в сложение:
$\vec{BC} + (-\vec{AE}) + \vec{AD} + (-\vec{PC}) + (-\vec{BD}) = \vec{BC} + \vec{EA} + \vec{AD} + \vec{CP} + \vec{DB}$

Теперь перегруппируем векторы так, чтобы составить из них непрерывную цепочку, где конец предыдущего вектора совпадает с началом следующего, и применить правило Шаля:
$\vec{EA} + \vec{AD} + \vec{DB} + \vec{BC} + \vec{CP}$

Последовательно сложим векторы в этой цепочке:
1. $(\vec{EA} + \vec{AD}) + \vec{DB} + \vec{BC} + \vec{CP} = \vec{ED} + \vec{DB} + \vec{BC} + \vec{CP}$
2. $(\vec{ED} + \vec{DB}) + \vec{BC} + \vec{CP} = \vec{EB} + \vec{BC} + \vec{CP}$
3. $(\vec{EB} + \vec{BC}) + \vec{CP} = \vec{EC} + \vec{CP}$
4. $\vec{EC} + \vec{CP} = \vec{EP}$

Таким образом, результатом упрощения является вектор $\vec{EP}$.

Ответ: $\vec{EP}$