Номер 41, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{AA_1}$ и $\vec{CB_1}$;

2) $\vec{AD}$ и $\vec{B_1 D}$.

41. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{AA_1}$ и $\vec{CB_1}$;

2) $\vec{AD}$ и $\vec{B_1D}$.

1)

Требуется найти разность векторов $\vec{AA_1} - \vec{CB_1}$.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные грани являются параллельными и равными квадратами, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Это означает, что существуют группы равных векторов. Вектор $\vec{AA_1}$ представляет собой боковое ребро куба. Ему равен, например, вектор $\vec{BB_1}$, так как они сонаправлены (оба перпендикулярны нижнему основанию и направлены вверх) и их длины равны (равны ребру куба).
$\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$.
Рассмотрим вектор $\vec{CB_1}$. По правилу треугольника (правилу сложения векторов), мы можем разложить его на сумму векторов, составляющих путь из точки C в точку B₁:
$\vec{CB_1} = \vec{CB} + \vec{BB_1}$.
Теперь подставим это разложение в исходное выражение для разности:
$\vec{AA_1} - \vec{CB_1} = \vec{AA_1} - (\vec{CB} + \vec{BB_1})$.
Используя равенство $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$, заменим $\vec{AA_1}$:
$\vec{BB_1} - (\vec{CB} + \vec{BB_1}) = \vec{BB_1} - \vec{CB} - \vec{BB_1} = -\vec{CB}$.
Вектор $-\vec{CB}$ является вектором, противоположным вектору $\vec{CB}$, то есть это вектор $\vec{BC}$.
$-\vec{CB} = \vec{BC}$.
Поскольку грань ABCD является квадратом, то стороны BC и AD параллельны и равны, следовательно, векторы, лежащие на них, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Таким образом, искомая разность равна $\vec{AD}$.

Ответ: $\vec{AD}$

2)

Требуется найти разность векторов $\vec{AD} - \vec{B_1D}$.
Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ эквивалентна сумме вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного $\vec{b}$, то есть $\vec{a} + (-\vec{b})$.
В нашем случае, вектор, противоположный вектору $\vec{B_1D}$, это вектор $\vec{DB_1}$.
Следовательно, мы можем переписать разность как сумму:
$\vec{AD} - \vec{B_1D} = \vec{AD} + \vec{DB_1}$.
Теперь воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника или правило Шаля): если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, идущий из начала первого вектора в конец второго.
В выражении $\vec{AD} + \vec{DB_1}$ конец первого вектора (точка D) совпадает с началом второго вектора (точка D).
Значит, результатом сложения будет вектор, соединяющий начальную точку первого вектора (A) и конечную точку второго (B₁).
$\vec{AD} + \vec{DB_1} = \vec{AB_1}$.
Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$.

Ответ: $\vec{AB_1}$