Номер 44, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Даны векторы $\vec{m} (4; -2; 2)$, $\vec{n} (1; 3; 1)$, $\vec{k} (-1; y; -6)$.

Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$?

44. Даны векторы $\vec{m}$ (4; -2; 2), $\vec{n}$ (1; 3; 1), $\vec{k}$ (-1; y; -6). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $|\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}|$?

Чтобы найти наименьшее значение модуля вектора $\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$, сначала найдем координаты этого результирующего вектора. Обозначим его как $\vec{a}$.

Координаты вектора $\vec{a}$ вычисляются как разность соответствующих координат векторов $\vec{m}$, $\vec{n}$ и $\vec{k}$:
$\vec{a} = \vec{m} - \vec{n} - \vec{k} = (4 - 1 - (-1); -2 - 3 - y; 2 - 1 - (-6))$
$\vec{a} = (4 - 1 + 1; -5 - y; 2 - 1 + 6)$
$\vec{a} = (4; -5 - y; 7)$

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{a}$. Модуль вектора с координатами $(x, y, z)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Подставим координаты вектора $\vec{a}$:
$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-5 - y)^2 + 7^2}$
$|\vec{a}| = \sqrt{16 + (-(5 + y))^2 + 49}$
$|\vec{a}| = \sqrt{16 + (y + 5)^2 + 49}$
$|\vec{a}| = \sqrt{65 + (y + 5)^2}$

Нам необходимо найти наименьшее значение выражения $|\vec{a}| = \sqrt{65 + (y + 5)^2}$. Значение этого выражения будет минимальным, когда подкоренное выражение $65 + (y + 5)^2$ будет минимальным.

Поскольку слагаемое $65$ является константой, нам нужно минимизировать слагаемое $(y + 5)^2$. Так как это квадрат действительного числа, его наименьшее значение равно 0. Это значение достигается при условии, что выражение в скобках равно нулю:
$y + 5 = 0$
$y = -5$

При $y = -5$ подкоренное выражение принимает свое наименьшее значение:
$65 + (-5 + 5)^2 = 65 + 0^2 = 65$

Следовательно, наименьшее значение модуля вектора равно корню из этого числа:
$|\vec{a}|_{min} = \sqrt{65}$

Ответ: $\sqrt{65}$