Номер 39, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 5; 2; 3;

2) 4; 6; 3;

3) 8; 9; 18?

39. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 5; 2; 3;

2) 4; 6; 3;

3) 8; 9; 18?

Для того чтобы сумма трех векторов была равна нулевому вектору, необходимо и достаточно, чтобы эти векторы, отложенные последовательно друг за другом (начало следующего вектора совпадает с концом предыдущего), образовывали замкнутую фигуру — треугольник (возможно, вырожденный). Это возможно только в том случае, если их модули (длины) удовлетворяют неравенству треугольника: длина наибольшего вектора должна быть меньше или равна сумме длин двух других.

1) 5; 2; 3;

Пусть модули векторов равны $a=5$, $b=2$ и $c=3$. Наибольший модуль — 5. Проверим, выполняется ли для этих длин неравенство треугольника:
$5 \le 2 + 3$
$5 \le 5$
Неравенство выполняется как равенство. Это соответствует вырожденному треугольнику, то есть векторы коллинеарны. Если векторы с модулями 2 и 3 направить в одну сторону, а вектор с модулем 5 — в противоположную, их сумма будет равна нулевому вектору.
Ответ: Да, может.

2) 4; 6; 3;

Пусть модули векторов равны $a=4$, $b=6$ и $c=3$. Наибольший модуль — 6. Проверим неравенство треугольника:
$6 \le 4 + 3$
$6 \le 7$
Неравенство выполняется. Следовательно, из векторов с такими модулями можно составить замкнутый треугольник, а значит, их сумма может быть равна нулевому вектору.
Ответ: Да, может.

3) 8; 9; 18?

Пусть модули векторов равны $a=8$, $b=9$ и $c=18$. Наибольший модуль — 18. Проверим неравенство треугольника:
$18 \le 8 + 9$
$18 \le 17$
Это неравенство ложно. Длина наибольшего вектора больше суммы длин двух других. Следовательно, из векторов с такими модулями невозможно составить замкнутый треугольник (даже вырожденный), и их сумма не может быть равна нулевому вектору.
Ответ: Нет, не может.