Номер 50, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{A_1C_1}$ через векторы $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$ и $\vec{AB_1}$.

50. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Выразите вектор $\vec{A_1 C_1}$ через векторы $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$ и $\vec{AB_1}$.

Чтобы выразить вектор $\vec{A_1C_1}$ через заданные векторы, воспользуемся правилом сложения векторов и свойствами параллелепипеда.

1. Вектор $\vec{A_1C_1}$ является диагональю верхнего основания параллелепипеда — параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$. По правилу параллелограмма для векторов, исходящих из одной вершины, можем записать:

$\vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{A_1D_1}$

2. Теперь выразим векторы $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{A_1D_1}$ через векторы, связанные с нижним основанием. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то его противоположные грани параллельны и равны. Это означает, что:

$\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$

$\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$

Подставим эти равенства в наше первое выражение:

$\vec{A_1C_1} = \vec{AB} + \vec{AD}$

3. Вектор $\vec{AD}$ является одним из векторов, через которые нужно выразить искомый вектор. Однако вектор $\vec{AB}$ не входит в их число. Нам нужно выразить $\vec{AB}$ через заданные векторы $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$ и $\vec{AB_1}$.

Рассмотрим вектор $\vec{AB_1}$. Он является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. По правилу сложения векторов (для треугольника $ABB_1$ или параллелограмма $ABB_1A_1$) имеем:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

Поскольку $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$ (как векторы, соответствующие боковым ребрам параллелепипеда), то:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$

Из этого соотношения выразим искомый вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \vec{AB_1} - \vec{AA_1}$

4. Наконец, подставим полученное выражение для $\vec{AB}$ в формулу для $\vec{A_1C_1}$:

$\vec{A_1C_1} = (\vec{AB_1} - \vec{AA_1}) + \vec{AD}$

Таким образом, мы выразили вектор $\vec{A_1C_1}$ через заданные векторы.

Ответ: $\vec{A_1C_1} = \vec{AD} - \vec{AA_1} + \vec{AB_1}$