Номер 57, страница 81 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Найдите среди векторов $\vec{a} (6; -9; 3)$, $\vec{b} (24; -36; 12)$, $\vec{c} (-1,8; 2,7; -0,9)$ и $\vec{p} (-2; 3; -1)$ сонаправленные и противоположно направленные векторы.

57. Найдите среди векторов $\vec{a} (6; -9; 3)$, $\vec{b} (24; -36; 12)$, $\vec{c} (-1,8; 2,7; -0,9)$ и $\vec{p} (-2; 3; -1)$ сонаправленные и противоположно направленные векторы.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы $\vec{u}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2; z_2)$ коллинеарны, если существует такое число $k \ne 0$, что выполняется равенство $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$. Это равносильно пропорциональности их координат: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$.

Если коэффициент пропорциональности $k > 0$, то векторы сонаправлены (направлены в одну сторону), что обозначается как $\vec{u} \uparrow\uparrow \vec{v}$.

Если коэффициент пропорциональности $k < 0$, то векторы противоположно направлены (направлены в разные стороны), что обозначается как $\vec{u} \uparrow\downarrow \vec{v}$.

Проанализируем данные векторы: $\vec{a}(6; -9; 3)$, $\vec{b}(24; -36; 12)$, $\vec{c}(-1,8; 2,7; -0,9)$ и $\vec{p}(-2; 3; -1)$.

Сонаправленные векторы

Найдем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ положителен.

1. Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{24}{6} = 4$

$\frac{-36}{-9} = 4$

$\frac{12}{3} = 4$

Отношения равны, коэффициент $k = 4$. Так как $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. То есть, $\vec{b} = 4\vec{a}$.

2. Сравним векторы $\vec{c}$ и $\vec{p}$. Найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{-1,8}{-2} = 0,9$

$\frac{2,7}{3} = 0,9$

$\frac{-0,9}{-1} = 0,9$

Отношения равны, коэффициент $k = 0,9$. Так как $k > 0$, векторы $\vec{c}$ и $\vec{p}$ сонаправлены. То есть, $\vec{c} = 0,9\vec{p}$.

Ответ: Сонаправленными являются пары векторов: ($\vec{a}$ и $\vec{b}$), ($\vec{c}$ и $\vec{p}$).

Противоположно направленные векторы

Найдем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ отрицателен. Для этого достаточно сравнить векторы из разных групп сонаправленных векторов (например, $\vec{a}$ и $\vec{p}$).

1. Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{p}$. Найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{6}{-2} = -3$

$\frac{-9}{3} = -3$

$\frac{3}{-1} = -3$

Отношения равны, коэффициент $k = -3$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{p}$ противоположно направлены. То есть, $\vec{a} = -3\vec{p}$.

2. Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

$\frac{-1,8}{6} = -0,3$

$\frac{2,7}{-9} = -0,3$

$\frac{-0,9}{3} = -0,3$

Коэффициент $k = -0,3$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ противоположно направлены. То есть, $\vec{c} = -0,3\vec{a}$.

Поскольку $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ и $\vec{c} \uparrow\uparrow \vec{p}$, то любой вектор из пары ($\vec{a}, \vec{b}$) будет противоположно направлен любому вектору из пары ($\vec{c}, \vec{p}$). Таким образом, все возможные пары противоположно направленных векторов это:

• $\vec{a}$ и $\vec{c}$
• $\vec{a}$ и $\vec{p}$
• $\vec{b}$ и $\vec{c}$
• $\vec{b}$ и $\vec{p}$

Ответ: Противоположно направленными являются пары векторов: ($\vec{a}$ и $\vec{c}$), ($\vec{a}$ и $\vec{p}$), ($\vec{b}$ и $\vec{c}$), ($\vec{b}$ и $\vec{p}$).