Номер 60, страница 81 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A(-2; -1; 2)$, $B(4; -3; 6)$, $C(-1; -2; 1)$ и $D(-4; -1; -1)$ является трапецией.

60. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами $A(-2; -1; 2)$, $B(4; -3; 6)$, $C(-1; -2; 1)$ и $D(-4; -1; -1)$ является трапецией.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является трапецией, необходимо показать, что две его противоположные стороны параллельны, а две другие — не параллельны. В координатном пространстве стороны параллельны, если соответствующие им векторы коллинеарны (то есть их координаты пропорциональны).

Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам четырехугольника, используя координаты вершин: $A(-2; -1; 2)$, $B(4; -3; 6)$, $C(-1; -2; 1)$ и $D(-4; -1; -1)$.

Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты: $(4 - (-2); -3 - (-1); 6 - 2) = (6; -2; 4)$.

Вектор $\vec{CD}$ имеет координаты: $(-4 - (-1); -1 - (-2); -1 - 1) = (-3; 1; -2)$.

Вектор $\vec{BC}$ имеет координаты: $(-1 - 4; -2 - (-3); 1 - 6) = (-5; 1; -5)$.

Вектор $\vec{DA}$ имеет координаты: $(-2 - (-4); -1 - (-1); 2 - (-1)) = (2; 0; 3)$.

Теперь проверим на коллинеарность векторы, соответствующие противоположным сторонам четырехугольника.

Сравним векторы $\vec{AB} = (6; -2; 4)$ и $\vec{CD} = (-3; 1; -2)$. Проверим, пропорциональны ли их координаты:

$\frac{6}{-3} = -2$; $\frac{-2}{1} = -2$; $\frac{4}{-2} = -2$.

Так как отношения всех соответствующих координат равны, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны, а значит, стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

Сравним векторы $\vec{BC} = (-5; 1; -5)$ и $\vec{DA} = (2; 0; 3)$. Проверим, пропорциональны ли их координаты:

$\frac{-5}{2} = -2.5$; $\frac{1}{0}$.

Отношение вторых координат найти невозможно (деление на ноль), что означает, что координаты векторов не пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$ не коллинеарны, а стороны $BC$ и $DA$ не параллельны.

Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ одна пара противоположных сторон ($AB$ и $CD$) параллельна, а другая пара ($BC$ и $DA$) не параллельна, по определению этот четырехугольник является трапецией.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $ABCD$ является трапецией.