Номер 65, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

65. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $BC$ отметили точку $P$ так, что $BP : PC = 1 : 4$, а на отрезке $A_1B$ — точку $O$ так, что $A_1O : OB = 5 : 4$. Выразите вектор $\vec{PO}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DC}$ и $\vec{DD_1}$.

65. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $BC$ отметили точку $P$ так, что $BP : PC = 1 : 4$, а на отрезке $A_1B$ — точку $O$ так, что $A_1O : OB = 5 : 4$. Выразите вектор $\vec{PO}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DC}$ и $\vec{DD_1}$.

Для решения задачи введем базисные векторы, совпадающие с указанными в условии, и выберем точку D в качестве начала координат. Обозначим:

$\vec{a} = \vec{DA}$

$\vec{c} = \vec{DC}$

$\vec{d_1} = \vec{DD_1}$

Искомый вектор $\vec{PO}$ можно представить в виде разности векторов, проведенных из начала координат D к точкам O и P:

$\vec{PO} = \vec{DO} - \vec{DP}$

Найдем поочередно векторы $\vec{DP}$ и $\vec{DO}$, выразив их через базисные векторы.

1. Нахождение вектора $\vec{DP}$

Точка P лежит на ребре BC, и по условию $BP : PC = 1 : 4$. Это означает, что точка P делит отрезок BC в отношении 1 к 4, считая от B. Тогда $\vec{BP} = \frac{1}{1+4}\vec{BC} = \frac{1}{5}\vec{BC}$.

Выразим вектор $\vec{DP}$ через сумму векторов, идущих по ребрам параллелепипеда:

$\vec{DP} = \vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BP}$

В параллелепипеде $\vec{BC} = \vec{AD}$. Вектор $\vec{AD}$ противоположен вектору $\vec{DA}$, поэтому $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a}$. Значит, $\vec{BC} = -\vec{a}$.

Тогда $\vec{BP} = \frac{1}{5}\vec{BC} = -\frac{1}{5}\vec{a}$.

Чтобы найти $\vec{DP}$, можно пойти другим путем: $\vec{DP} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BP}$. В параллелепипеде $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{c}$.

Подставляя известные векторы, получаем:

$\vec{DP} = \vec{a} + \vec{c} + (-\frac{1}{5}\vec{a}) = (1 - \frac{1}{5})\vec{a} + \vec{c} = \frac{4}{5}\vec{a} + \vec{c}$.

2. Нахождение вектора $\vec{DO}$

Точка O лежит на отрезке $A_1B$ и делит его в отношении $A_1O : OB = 5 : 4$. По формуле для радиус-вектора точки, делящей отрезок в заданном отношении:

$\vec{DO} = \frac{4 \cdot \vec{DA_1} + 5 \cdot \vec{DB}}{4+5} = \frac{4}{9}\vec{DA_1} + \frac{5}{9}\vec{DB}$

Выразим векторы $\vec{DA_1}$ и $\vec{DB}$ через базисные:

$\vec{DA_1} = \vec{DA} + \vec{AA_1}$. Так как $\vec{AA_1} = \vec{DD_1} = \vec{d_1}$, то $\vec{DA_1} = \vec{a} + \vec{d_1}$.

$\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}$. Так как $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{c}$, то $\vec{DB} = \vec{a} + \vec{c}$.

Теперь подставим эти выражения в формулу для $\vec{DO}$:

$\vec{DO} = \frac{4}{9}(\vec{a} + \vec{d_1}) + \frac{5}{9}(\vec{a} + \vec{c}) = \frac{4}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{d_1} + \frac{5}{9}\vec{a} + \frac{5}{9}\vec{c}$

$\vec{DO} = (\frac{4}{9} + \frac{5}{9})\vec{a} + \frac{5}{9}\vec{c} + \frac{4}{9}\vec{d_1} = \vec{a} + \frac{5}{9}\vec{c} + \frac{4}{9}\vec{d_1}$

3. Нахождение вектора $\vec{PO}$

Теперь, когда у нас есть выражения для $\vec{DO}$ и $\vec{DP}$, мы можем найти их разность:

$\vec{PO} = \vec{DO} - \vec{DP} = (\vec{a} + \frac{5}{9}\vec{c} + \frac{4}{9}\vec{d_1}) - (\frac{4}{5}\vec{a} + \vec{c})$

Сгруппируем коэффициенты при одинаковых базисных векторах:

$\vec{PO} = (1 - \frac{4}{5})\vec{a} + (\frac{5}{9} - 1)\vec{c} + \frac{4}{9}\vec{d_1}$

$\vec{PO} = \frac{1}{5}\vec{a} - \frac{4}{9}\vec{c} + \frac{4}{9}\vec{d_1}$

Подставим обратно исходные обозначения векторов:

$\vec{PO} = \frac{1}{5}\vec{DA} - \frac{4}{9}\vec{DC} + \frac{4}{9}\vec{DD_1}$

Ответ: $\vec{PO} = \frac{1}{5}\vec{DA} - \frac{4}{9}\vec{DC} + \frac{4}{9}\vec{DD_1}$.