Номер 72, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^{\circ}$.

Найдите $|\vec{a} - 4\vec{b}|$.

72. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=6$, $|\vec{b}|=\sqrt{3}$, $\angle(\vec{a},\vec{b})=30^\circ$.

Найдите $|\vec{a}-4\vec{b}|$.

Для нахождения модуля вектора $|\vec{a} - 4\vec{b}|$ воспользуемся свойством, что квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату. То есть, $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$.

Возведем искомый модуль в квадрат:$|\vec{a} - 4\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 4\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 4\vec{b})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:$(\vec{a} - 4\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 4\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot (4\vec{b}) - (4\vec{b}) \cdot \vec{a} + (4\vec{b}) \cdot (4\vec{b})$

Упростим выражение, учитывая, что $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$:$|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2$

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по формуле:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Подставим известные значения: $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ и $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$

Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$

Теперь подставим все значения в выражение для квадрата модуля:$|\vec{a} - 4\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2 = 6^2 - 8 \cdot 9 + 16 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 - 72 + 16 \cdot 3 = 36 - 72 + 48 = 12$

Мы получили, что $|\vec{a} - 4\vec{b}|^2 = 12$. Чтобы найти модуль, извлечем квадратный корень:$|\vec{a} - 4\vec{b}| = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$