Номер 75, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Ребро правильного тетраэдра DABC равно $a$, точка $M$ — середина ребра $AD$ (рис. 26). Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{BM}$ и $\vec{AB}$;

2) $\vec{BM}$ и $\vec{DC}$.

Рис. 26

75. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$, точка $M$ — середина ребра $AD$ (рис. 26). Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\overrightarrow{BM}$ и $\overrightarrow{AB}$;

2) $\overrightarrow{BM}$ и $\overrightarrow{DC}$.

Рис. 26

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть $DABC$ — правильный тетраэдр, ребро которого равно $a$. Точка $M$ — середина ребра $AD$.

Введем базисные векторы с общим началом в вершине $A$: $\vec{AB} = \mathbf{b}$, $\vec{AC} = \mathbf{c}$ и $\vec{AD} = \mathbf{d}$.

Так как тетраэдр правильный, все его грани являются равносторонними треугольниками со стороной $a$. Это означает, что длины базисных векторов равны $a$, а угол между любыми двумя из них составляет $60^\circ$.

Длины векторов: $|\mathbf{b}| = |\mathbf{c}| = |\mathbf{d}| = a$.

Скалярные произведения базисных векторов:

• $\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$
• $\mathbf{b} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{b}| |\mathbf{d}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$
• $\mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{c}| |\mathbf{d}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$

Также нам понадобятся скалярные квадраты векторов:

• $\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2 = a^2$
• $\mathbf{d} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{d}|^2 = a^2$

По условию, точка $M$ является серединой ребра $AD$, следовательно, вектор $\vec{AM}$ можно выразить как половину вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\mathbf{d}$.

1) $\vec{BM}$ и $\vec{AB}$;

Для нахождения скалярного произведения выразим вектор $\vec{BM}$ через базисные векторы. Используя правило треугольника для векторов, получаем:

$\vec{BM} = \vec{AM} - \vec{AB} = \frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{b}$.

Вектор $\vec{AB}$ совпадает с базисным вектором $\mathbf{b}$.

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{BM} \cdot \vec{AB}$:

$\vec{BM} \cdot \vec{AB} = (\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{b}) \cdot \mathbf{b}$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$\vec{BM} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2}(\mathbf{d} \cdot \mathbf{b}) - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{b})$

Подставим ранее найденные значения скалярных произведений:

$\vec{BM} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} - a^2 = \frac{a^2}{4} - a^2 = \frac{a^2 - 4a^2}{4} = -\frac{3a^2}{4}$.

Ответ: $-\frac{3a^2}{4}$.

2) $\vec{BM}$ и $\vec{DC}$.

Вектор $\vec{BM}$ мы уже выразили: $\vec{BM} = \frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{b}$.

Теперь выразим вектор $\vec{DC}$ через базисные векторы с началом в точке $A$:

$\vec{DC} = \vec{AC} - \vec{AD} = \mathbf{c} - \mathbf{d}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{BM} \cdot \vec{DC}$:

$\vec{BM} \cdot \vec{DC} = (\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} - \mathbf{d})$

Раскроем скобки:

$\vec{BM} \cdot \vec{DC} = \frac{1}{2}(\mathbf{d} \cdot \mathbf{c}) - \frac{1}{2}(\mathbf{d} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) + (\mathbf{b} \cdot \mathbf{d})$

Подставим известные значения скалярных произведений:

$\vec{BM} \cdot \vec{DC} = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{2} \right) - \frac{1}{2} (a^2) - \left( \frac{a^2}{2} \right) + \left( \frac{a^2}{2} \right)$

$\vec{BM} \cdot \vec{DC} = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2 - 2a^2}{4} = -\frac{a^2}{4}$.

Ответ: $-\frac{a^2}{4}$.