Номер 69, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $|\vec{a}| = 8, |\vec{b}| = 7, \angle(\vec{a},\vec{b}) = 45^{\circ};$

2) $|\vec{a}| = 10, |\vec{b}| = 11, \angle(\vec{a},\vec{b}) = 120^{\circ};$

3) $|\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 6, \angle(\vec{a},\vec{b}) = 90^{\circ}.$

69. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $|\vec{a}|=8, |\vec{b}|=7, \angle(\vec{a}, \vec{b})=45^\circ;$

2) $|\vec{a}|=10, |\vec{b}|=11, \angle(\vec{a}, \vec{b})=120^\circ;$

3) $|\vec{a}|=5, |\vec{b}|=6, \angle(\vec{a}, \vec{b})=90^\circ.$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Формула для вычисления скалярного произведения выглядит следующим образом:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Применим эту формулу для каждого из пунктов задачи.

1) Даны длины векторов $|\vec{a}| = 8$, $|\vec{b}| = 7$ и угол между ними $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 8 \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)$
Зная, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 56 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 28\sqrt{2}$.
Ответ: $28\sqrt{2}$

2) Даны длины векторов $|\vec{a}| = 10$, $|\vec{b}| = 11$ и угол между ними $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 10 \cdot 11 \cdot \cos(120^\circ)$
Зная, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 110 \cdot (-\frac{1}{2}) = -55$.
Ответ: $-55$

3) Даны длины векторов $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 6$ и угол между ними $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 6 \cdot \cos(90^\circ)$
Зная, что $\cos(90^\circ) = 0$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 30 \cdot 0 = 0$.
(Скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю).
Ответ: $0$