Номер 63, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $BB_1$, точка $K$ — середина ребра $CD$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $BB_1$, точка $K$ — середина ребра $CD$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Чтобы выразить вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, представим его в виде суммы векторов, используя правило многоугольника. Для этого выберем путь из точки M в точку K по рёбрам куба или их частям, например, по ломаной $MBCK$. Тогда искомый вектор будет равен сумме векторов, составляющих эту ломаную:

$\vec{MK} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CK}$

Теперь выразим каждый из этих трёх векторов через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Найдём вектор $\vec{MB}$. По условию, точка M — середина ребра $BB_1$. Это значит, что вектор $\vec{BM}$ составляет половину вектора $\vec{BB_1}$, то есть $\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BB_1}$. Вектор $\vec{MB}$ направлен в противоположную сторону по сравнению с вектором $\vec{BM}$, поэтому $\vec{MB} = -\vec{BM} = -\frac{1}{2}\vec{BB_1}$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является кубом, его боковые рёбра параллельны и равны, следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. В итоге получаем: $\vec{MB} = -\frac{1}{2}\vec{AA_1}$.

2. Найдём вектор $\vec{BC}$. В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Векторы, лежащие на противоположных сторонах квадрата, равны, если они сонаправлены. Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ удовлетворяют этому условию, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$.

3. Найдём вектор $\vec{CK}$. По условию, точка K — середина ребра $CD$. Следовательно, вектор $\vec{CK}$ равен половине вектора $\vec{CD}$: $\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{CD}$. В кубе ребро $CD$ параллельно и равно ребру $BA$. Значит, $\vec{CD} = \vec{BA}$. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Отсюда следует, что $\vec{CD} = -\vec{AB}$. Подставив это выражение, находим: $\vec{CK} = \frac{1}{2}(-\vec{AB}) = -\frac{1}{2}\vec{AB}$.

Теперь, когда все компоненты разложены по базисным векторам, подставим их в исходную сумму:

$\vec{MK} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CK} = (-\frac{1}{2}\vec{AA_1}) + \vec{AD} + (-\frac{1}{2}\vec{AB})$

Запишем слагаемые в более привычном порядке:

$\vec{MK} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{MK} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$.