Номер 67, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Образом точки $K (4; -5; 6)$ при гомотетии с центром $M (2; -1; 3)$ является точка $K_1 (6; -9; 9)$. Найдите прообраз $N$ точки $N_1 (12; -7; 17)$ при этой гомотетии.

67. Образом точки $K (4; -5; 6)$ при гомотетии с центром $M (2; -1; 3)$ является точка $K_1 (6; -9; 9)$. Найдите прообраз $N$ точки $N_1 (12; -7; 17)$ при этой гомотетии.

Гомотетия (или дилатация) с центром $M(x_m; y_m; z_m)$ и коэффициентом $k$ преобразует точку $P(x_p; y_p; z_p)$ в точку $P'(x_p'; y_p'; z_p')$ согласно векторному равенству $\vec{MP'} = k \cdot \vec{MP}$.

В координатной форме это равенство записывается в виде системы уравнений:

$\begin{cases} x_p' - x_m = k \cdot (x_p - x_m) \\ y_p' - y_m = k \cdot (y_p - y_m) \\ z_p' - z_m = k \cdot (z_p - z_m) \end{cases}$

Решение задачи состоит из двух шагов: сначала нужно найти коэффициент гомотетии $k$, а затем, используя его, найти прообраз точки $N_1$.

1. Нахождение коэффициента гомотетии

По условию, образом точки $K(4; -5; 6)$ является точка $K_1(6; -9; 9)$ при гомотетии с центром $M(2; -1; 3)$. Следовательно, для этих точек выполняется равенство $\vec{MK_1} = k \cdot \vec{MK}$.

Найдем координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{MK_1}$:

$\vec{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M; z_K - z_M) = (4 - 2; -5 - (-1); 6 - 3) = (2; -4; 3)$.

$\vec{MK_1} = (x_{K_1} - x_M; y_{K_1} - y_M; z_{K_1} - z_M) = (6 - 2; -9 - (-1); 9 - 3) = (4; -8; 6)$.

Подставим координаты векторов в формулу гомотетии: $(4; -8; 6) = k \cdot (2; -4; 3)$.

Приравнивая соответствующие координаты, получаем:

$4 = k \cdot 2 \implies k = \frac{4}{2} = 2$

$-8 = k \cdot (-4) \implies k = \frac{-8}{-4} = 2$

$6 = k \cdot 3 \implies k = \frac{6}{3} = 2$

Таким образом, коэффициент гомотетии $k = 2$.

2. Нахождение прообраза N точки N₁

Теперь нам нужно найти прообраз $N(x_N; y_N; z_N)$ для точки $N_1(12; -7; 17)$ при гомотетии с тем же центром $M(2; -1; 3)$ и найденным коэффициентом $k=2$.

Точка $N$ является прообразом, а $N_1$ — образом, поэтому для них выполняется соотношение $\vec{MN_1} = k \cdot \vec{MN}$.

Чтобы найти координаты точки $N$, выразим вектор $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{k} \cdot \vec{MN_1} = \frac{1}{2} \cdot \vec{MN_1}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{MN_1}$:

$\vec{MN_1} = (x_{N_1} - x_M; y_{N_1} - y_M; z_{N_1} - z_M) = (12 - 2; -7 - (-1); 17 - 3) = (10; -6; 14)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2} \cdot (10; -6; 14) = (5; -3; 7)$.

Координаты вектора $\vec{MN}$ также равны $(x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M)$. Приравняем их к найденным значениям и найдем координаты точки $N$:

$x_N - x_M = 5 \implies x_N - 2 = 5 \implies x_N = 7$

$y_N - y_M = -3 \implies y_N - (-1) = -3 \implies y_N + 1 = -3 \implies y_N = -4$

$z_N - z_M = 7 \implies z_N - 3 = 7 \implies z_N = 10$

Следовательно, искомый прообраз — это точка $N$ с координатами $(7; -4; 10)$.

Ответ: $N(7; -4; 10)$.