Номер 64, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. На ребре $AB$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $P$ так, что $AP : PB = 1 : 6$. Выразите вектор $\vec{CP}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

64. На ребре $AB$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $P$ так, что $AP : PB = 1 : 6$. Выразите вектор $\vec{CP}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Для решения задачи представим искомый вектор $\vec{CP}$ в виде комбинации векторов, имеющих общее начало. В качестве общего начала удобно выбрать вершину тетраэдра D, так как базовые векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ выходят из этой точки.

Используя правило вычитания векторов (правило треугольника), можем записать:

$\vec{CP} = \vec{DP} - \vec{DC}$

Теперь необходимо выразить вектор $\vec{DP}$ через заданные векторы. Точка P лежит на ребре AB и, согласно условию, делит его в отношении $AP : PB = 1 : 6$. Это означает, что точка P делит отрезок AB в отношении $\lambda = \frac{1}{6}$.

Для нахождения вектора $\vec{DP}$ воспользуемся формулой для радиус-вектора точки, делящей отрезок в заданном отношении. Если точка P делит отрезок AB в отношении $m:n$, то ее радиус-вектор $\vec{DP}$ выражается через радиус-векторы точек A и B ($\vec{DA}$ и $\vec{DB}$) следующим образом:

$\vec{DP} = \frac{n \cdot \vec{DA} + m \cdot \vec{DB}}{m+n}$

В нашем случае $m=1$ и $n=6$. Подставляем эти значения в формулу:

$\vec{DP} = \frac{6 \cdot \vec{DA} + 1 \cdot \vec{DB}}{1 + 6} = \frac{6\vec{DA} + \vec{DB}}{7} = \frac{6}{7}\vec{DA} + \frac{1}{7}\vec{DB}$

Теперь подставим полученное выражение для вектора $\vec{DP}$ в исходную формулу для $\vec{CP}$:

$\vec{CP} = \left( \frac{6}{7}\vec{DA} + \frac{1}{7}\vec{DB} \right) - \vec{DC}$

Таким образом, мы получили искомое выражение вектора $\vec{CP}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Ответ: $\vec{CP} = \frac{6}{7}\vec{DA} + \frac{1}{7}\vec{DB} - \vec{DC}$