Номер 76, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. На ребре $DD_1$ отметили точку $K$ так, что $DK : KD_1 = 2 : 5$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{BK}$ и $\vec{DD_1}$.

76. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$.

На ребре $DD_1$ отметили точку K так, что $DK : KD_1 = 2 : 5$.

Найдите скалярное произведение векторов $\vec{BK}$ и $\vec{DD_1}$.

Для решения задачи воспользуемся методом разложения вектора. Разложим вектор $ \vec{BK} $ по правилу треугольника на сумму двух векторов:

$ \vec{BK} = \vec{BD} + \vec{DK} $

Теперь найдем скалярное произведение $ \vec{BK} \cdot \vec{DD_1} $, подставив полученное разложение:

$ \vec{BK} \cdot \vec{DD_1} = (\vec{BD} + \vec{DK}) \cdot \vec{DD_1} $

Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, получаем:

$ \vec{BK} \cdot \vec{DD_1} = \vec{BD} \cdot \vec{DD_1} + \vec{DK} \cdot \vec{DD_1} $

Рассмотрим каждое из двух получившихся скалярных произведений отдельно.

1. Произведение $ \vec{BD} \cdot \vec{DD_1} $.
Вектор $ \vec{BD} $ лежит в плоскости основания куба ABCD. Ребро DD₁ перпендикулярно плоскости основания, следовательно, вектор $ \vec{DD_1} $ перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, в том числе и вектору $ \vec{BD} $. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Таким образом, $ \vec{BD} \cdot \vec{DD_1} = 0 $.

2. Произведение $ \vec{DK} \cdot \vec{DD_1} $.
По условию, точка K лежит на ребре DD₁. Это значит, что векторы $ \vec{DK} $ и $ \vec{DD_1} $ коллинеарны и сонаправлены (имеют одинаковое направление). Скалярное произведение сонаправленных векторов равно произведению их длин:

$ \vec{DK} \cdot \vec{DD_1} = |\vec{DK}| \cdot |\vec{DD_1}| $

Длина ребра куба равна $a$, значит, $ |\vec{DD_1}| = a $. Из условия $ DK : KD_1 = 2 : 5 $ следует, что отрезок DD₁ разделен на $ 2+5=7 $ частей, и на отрезок DK приходится 2 части. Следовательно, длина отрезка DK равна:

$ |\vec{DK}| = \frac{2}{7} |\vec{DD_1}| = \frac{2}{7}a $

Тогда скалярное произведение равно:

$ \vec{DK} \cdot \vec{DD_1} = \frac{2}{7}a \cdot a = \frac{2a^2}{7} $

Теперь сложим полученные результаты, чтобы найти искомое скалярное произведение:

$ \vec{BK} \cdot \vec{DD_1} = 0 + \frac{2a^2}{7} = \frac{2a^2}{7} $

Ответ: $ \frac{2a^2}{7} $