Номер 83, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Докажите, используя векторы, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (6; -4; 2)$, $B (3; 2; 3)$, $C (0; 1; 0)$ и $D (3; -5; -1)$ является прямоугольником.

83. Докажите, используя векторы, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (6; -4; 2)$, $B (3; 2; 3)$, $C (0; 1; 0)$ и $D (3; -5; -1)$ является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, используя векторы, необходимо установить, что он является параллелограммом, у которого смежные стороны перпендикулярны.

1. Доказательство того, что ABCD — параллелограмм.

Четырехугольник является параллелограммом, если векторы его противоположных сторон равны. Найдем векторы, соответствующие сторонам четырехугольника, используя координаты его вершин: A(6; −4; 2), B(3; 2; 3), C(0; 1; 0) и D(3; −5; −1).

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{AB} = (3 - 6; 2 - (-4); 3 - 2) = (-3; 6; 1)$

$\vec{DC} = (0 - 3; 1 - (-5); 0 - (-1)) = (-3; 6; 1)$

Так как координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ совпадают, то $\vec{AB} = \vec{DC}$. Это означает, что стороны AB и DC параллельны и равны по длине. Этого достаточно, чтобы утверждать, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

2. Доказательство наличия прямого угла.

Теперь докажем, что у параллелограмма есть прямой угол. Для этого проверим перпендикулярность смежных сторон, например, AB и AD. Стороны перпендикулярны, если скалярное произведение их векторов равно нулю.

Найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (3 - 6; -5 - (-4); -1 - 2) = (-3; -1; -3)$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (-3) \cdot (-3) + (6) \cdot (-1) + (1) \cdot (-3) = 9 - 6 - 3 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны, а значит, угол $\angle DAB$ — прямой.

Так как ABCD — параллелограмм с прямым углом, он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, четырехугольник ABCD является прямоугольником.