Номер 84, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Даны точки A $(3; 2; 4)$, B $(-2; 0; -1)$ и C $(1; 2; 3)$. Найдите на оси z такую точку D, чтобы векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ были перпендикулярны.

84. Даны точки $A(3; 2; 4)$, $B(-2; 0; -1)$ и $C(1; 2; 3)$. Найдите на оси $z$ такую точку $D$, чтобы векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ были перпендикулярны.

По условию задачи даны три точки: $A(3; 2; 4)$, $B(-2; 0; -1)$ и $C(1; 2; 3)$. Необходимо найти на оси $z$ такую точку $D$, чтобы векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ были перпендикулярны.

1. Поскольку точка $D$ лежит на оси $z$, её координаты по осям $x$ и $y$ равны нулю. Таким образом, координаты точки $D$ можно записать как $D(0; 0; z)$, где $z$ – неизвестная аппликата, которую нам предстоит найти.

2. Найдём координаты векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\overrightarrow{AC}$ имеем:

$\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (1 - 3; 2 - 2; 3 - 4) = (-2; 0; -1)$.

Для вектора $\overrightarrow{BD}$ имеем:

$\overrightarrow{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B; z_D - z_B) = (0 - (-2); 0 - 0; z - (-1)) = (2; 0; z + 1)$.

3. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b}(b_x, b_y, b_z)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Применим это условие к нашим векторам: $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$.

Составим и решим уравнение:

$(-2) \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (z + 1) = 0$

$-4 + 0 - (z + 1) = 0$

$-4 - z - 1 = 0$

$-5 - z = 0$

$z = -5$

Таким образом, мы нашли аппликату точки $D$. Координаты искомой точки $D$ равны $(0; 0; -5)$.

Ответ: $D(0; 0; -5)$.