Страница 84 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Даны точки A $(3; 2; 4)$, B $(-2; 0; -1)$ и C $(1; 2; 3)$. Найдите на оси z такую точку D, чтобы векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ были перпендикулярны.

84. Даны точки $A(3; 2; 4)$, $B(-2; 0; -1)$ и $C(1; 2; 3)$. Найдите на оси $z$ такую точку $D$, чтобы векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ были перпендикулярны.

По условию задачи даны три точки: $A(3; 2; 4)$, $B(-2; 0; -1)$ и $C(1; 2; 3)$. Необходимо найти на оси $z$ такую точку $D$, чтобы векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ были перпендикулярны.

1. Поскольку точка $D$ лежит на оси $z$, её координаты по осям $x$ и $y$ равны нулю. Таким образом, координаты точки $D$ можно записать как $D(0; 0; z)$, где $z$ – неизвестная аппликата, которую нам предстоит найти.

2. Найдём координаты векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\overrightarrow{AC}$ имеем:

$\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (1 - 3; 2 - 2; 3 - 4) = (-2; 0; -1)$.

Для вектора $\overrightarrow{BD}$ имеем:

$\overrightarrow{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B; z_D - z_B) = (0 - (-2); 0 - 0; z - (-1)) = (2; 0; z + 1)$.

3. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b}(b_x, b_y, b_z)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Применим это условие к нашим векторам: $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$.

Составим и решим уравнение:

$(-2) \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (z + 1) = 0$

$-4 + 0 - (z + 1) = 0$

$-4 - z - 1 = 0$

$-5 - z = 0$

$z = -5$

Таким образом, мы нашли аппликату точки $D$. Координаты искомой точки $D$ равны $(0; 0; -5)$.

Ответ: $D(0; 0; -5)$.

85. Найдите координаты вектора $\vec{m}$, коллинеарного вектору $\vec{n} (3; -2; 2)$, если $\vec{m} \cdot \vec{n} = -85$.

85. Найдите координаты вектора $\vec{m}$, коллинеарного вектору $\vec{n}(3; -2; 2)$, если $\vec{m} \cdot \vec{n} = -85$.

Поскольку вектор $\vec{m}$ коллинеарен вектору $\vec{n}$, то существует такое число $k$, что $\vec{m} = k \cdot \vec{n}$.

Координаты вектора $\vec{n}$ нам известны: $\vec{n}(3; -2; 2)$.

Тогда координаты вектора $\vec{m}$ можно выразить через $k$:

$\vec{m} = k \cdot (3; -2; 2) = (3k; -2k; 2k)$

В условии задачи дано скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$: $\vec{m} \cdot \vec{n} = -85$.

Скалярное произведение векторов в координатах находится как сумма произведений соответствующих координат. Запишем это для наших векторов:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = (3k) \cdot 3 + (-2k) \cdot (-2) + (2k) \cdot 2$

Подставим известное значение скалярного произведения и решим уравнение относительно $k$:

$9k + 4k + 4k = -85$

$17k = -85$

$k = \frac{-85}{17}$

$k = -5$

Теперь, когда мы нашли коэффициент $k$, мы можем определить координаты вектора $\vec{m}$, подставив значение $k$ в его координатное представление:

$x_m = 3k = 3 \cdot (-5) = -15$

$y_m = -2k = -2 \cdot (-5) = 10$

$z_m = 2k = 2 \cdot (-5) = -10$

Таким образом, координаты вектора $\vec{m}$ равны $(-15; 10; -10)$.

Ответ: $\vec{m}(-15; 10; -10)$

86. Даны векторы $\vec{c}$ (4; -2; -4) и $\vec{d}$ (6; -3; 2). Найдите значение $p$, при котором векторы $p\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ будут перпендикулярны.

86. Даны векторы $ \vec{c} (4; -2; -4) $ и $ \vec{d} (6; -3; 2) $. Найдите значение $ p $, при котором векторы $ p\vec{c}+\vec{d} $ и $ \vec{c} $ будут перпендикулярны.

По условию, векторы $p\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ должны быть перпендикулярны. Два ненулевых вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы с координатами $\vec{c}(4; -2; -4)$ и $\vec{d}(6; -3; 2)$.

1. Найдём координаты вектора $p\vec{c} + \vec{d}$

Сначала найдём координаты вектора $p\vec{c}$, умножив каждую координату вектора $\vec{c}$ на число $p$:
$p\vec{c} = (p \cdot 4; p \cdot (-2); p \cdot (-4)) = (4p; -2p; -4p)$.

Теперь найдём координаты вектора $p\vec{c} + \vec{d}$ путем сложения соответствующих координат векторов $p\vec{c}$ и $\vec{d}$:
$p\vec{c} + \vec{d} = (4p + 6; -2p + (-3); -4p + 2) = (4p + 6; -2p - 3; -4p + 2)$.

2. Составим и решим уравнение, используя условие перпендикулярности векторов

Скалярное произведение векторов $(p\vec{c} + \vec{d})$ и $\vec{c}$ должно быть равно нулю:

$(p\vec{c} + \vec{d}) \cdot \vec{c} = 0$.

Скалярное произведение векторов $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. Подставим координаты наших векторов:

$(4p + 6) \cdot 4 + (-2p - 3) \cdot (-2) + (-4p + 2) \cdot (-4) = 0$.

Раскроем скобки:

$16p + 24 + 4p + 6 + 16p - 8 = 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$(16p + 4p + 16p) + (24 + 6 - 8) = 0$
$36p + 22 = 0$.

Решим уравнение относительно $p$:

$36p = -22$
$p = -\frac{22}{36}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$p = -\frac{11}{18}$.

Ответ: $p = -\frac{11}{18}$.

87. Даны точки $A (3; 4; -7)$, $B (0; -2; -5)$, $C (5; 1; -6)$ и $D (-4; -8; -15)$. Докажите, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

87. Даны точки $A (3; 4; -7)$, $B (0; -2; -5)$, $C (5; 1; -6)$ и $D (-4; -8; -15)$. Докажите, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

Для того чтобы доказать, что прямая AC перпендикулярна плоскости BCD, необходимо доказать, что прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости BCD. В качестве таких прямых можно взять BC и BD.

Перпендикулярность прямых можно доказать, показав, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю.

1. Найдем координаты направляющих векторов $\vec{AC}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$.

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{AC}$ с началом в точке A(3; 4; –7) и концом в точке C(5; 1; –6):
$\vec{AC} = (5-3; 1-4; -6 - (-7)) = (2; -3; 1)$

Для вектора $\vec{BC}$ с началом в точке B(0; –2; –5) и концом в точке C(5; 1; –6):
$\vec{BC} = (5-0; 1 - (-2); -6 - (-5)) = (5; 3; -1)$

Для вектора $\vec{BD}$ с началом в точке B(0; –2; –5) и концом в точке D(–4; –8; –15):
$\vec{BD} = (-4-0; -8 - (-2); -15 - (-5)) = (-4; -6; -10)$

2. Проверим, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны.

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Проверим это для $\vec{BC}=(5; 3; -1)$ и $\vec{BD}=(-4; -6; -10)$:

$\frac{5}{-4} \neq \frac{3}{-6} \neq \frac{-1}{-10}$

Поскольку равенство не выполняется, векторы не коллинеарны, а значит прямые BC и BD пересекаются и задают плоскость BCD.

3. Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{AC}$ с векторами $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}=(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Найдем скалярное произведение $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$:
$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 + 1 \cdot (-1) = 10 - 9 - 1 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{AC} \perp \vec{BC}$, а значит прямая $AC \perp BC$.

Найдем скалярное произведение $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 2 \cdot (-4) + (-3) \cdot (-6) + 1 \cdot (-10) = -8 + 18 - 10 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{AC} \perp \vec{BD}$, а значит прямая $AC \perp BD$.

Поскольку прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым (BC и BD), лежащим в плоскости BCD, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AC перпендикулярна плоскости BCD.

Ответ: Утверждение доказано.

88. Точка C принадлежит биссектору двугранного угла и удалена от его ребра на 7 см. Найдите расстояние от точки C до граней двугранного угла, если величина этого угла равна $60^\circ$.

88. Точка С принадлежит биссектору двугранного угла и удалена от его ребра на 7 см. Найдите расстояние от точки С до граней двугранного угла, если величина этого угла равна $60^\circ$.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общим ребром $a$. Величина этого угла по условию равна $60^\circ$.
Точка $C$ принадлежит биссекторной плоскости этого угла. Это означает, что точка $C$ равноудалена от граней $\alpha$ и $\beta$.
Расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Нам нужно найти это расстояние.

Пусть $O$ - проекция точки $C$ на ребро $a$. Тогда отрезок $CO$ перпендикулярен ребру $a$, и его длина является расстоянием от точки $C$ до ребра. По условию, $CO = 7$ см.

Проведем из точки $C$ перпендикуляр $CA$ к плоскости $\alpha$. Длина отрезка $CA$ и есть искомое расстояние от точки $C$ до грани $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Так как $CA \perp \alpha$, а прямая $OA$ лежит в плоскости $\alpha$, то $CA \perp OA$. Следовательно, треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

Угол $\angle COA$ является линейным углом между биссекторной плоскостью и гранью $\alpha$. Так как биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, то величина этого угла равна половине величины двугранного угла:

$\angle COA = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

В прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$ известны гипотенуза $CO = 7$ см и угол $\angle COA = 30^\circ$. Катет $CA$, лежащий напротив этого угла, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:

$CA = CO \cdot \sin(\angle COA)$

Подставим известные значения:

$CA = 7 \cdot \sin(30^\circ) = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5$ см.

Поскольку точка $C$ лежит на биссекторе, она равноудалена от обеих граней двугранного угла. Таким образом, расстояние от точки $C$ до граней двугранного угла равно 3,5 см.

Ответ: 3,5 см.

89. При каком значении $m$ точка $D(m; -2; 5)$ принадлежит плоскости $3x - 6y + 2z + 2 = 0$?

89. При каком значении $m$ точка $D(m; -2; 5)$ принадлежит плоскости $3x - 6y + 2z + 2 = 0$?

Для того чтобы точка $D(m; -2; 5)$ принадлежала плоскости, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости. Уравнение плоскости задано как $3x - 6y + 2z + 2 = 0$.

Координаты точки $D$ это $x = m$, $y = -2$ и $z = 5$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:
$3 \cdot (m) - 6 \cdot (-2) + 2 \cdot (5) + 2 = 0$

Теперь упростим полученное выражение и решим уравнение относительно $m$:
$3m + 12 + 10 + 2 = 0$
$3m + 24 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$3m = -24$

Найдем значение $m$, разделив обе части уравнения на 3:
$m = \frac{-24}{3}$
$m = -8$

Таким образом, точка $D$ принадлежит заданной плоскости при $m = -8$.

Ответ: -8

90. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M(4; -2; 7)$ и перпендикулярной прямой $CD$, если $C(7; 3; -2)$, $D(4; -5; 1)$.

90. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M (4; -2; 7)$ и перпендикулярной прямой $CD$, если $C (7; 3; -2)$, $D (4; -5; 1)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, задается формулой:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.
По условию задачи, плоскость проходит через точку $M(4; -2; 7)$. Следовательно, $x_0 = 4$, $y_0 = -2$, $z_0 = 7$.
Плоскость перпендикулярна прямой $CD$. Это означает, что направляющий вектор прямой $CD$ является нормальным вектором $\vec{n}$ для этой плоскости.
Найдем координаты направляющего вектора $\vec{CD}$ по координатам точек $C(7; 3; -2)$ и $D(4; -5; 1)$:
$\vec{n} = \vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (4 - 7; -5 - 3; 1 - (-2)) = (-3; -8; 3)$.
Таким образом, коэффициенты в уравнении плоскости равны $A = -3$, $B = -8$, $C = 3$.
Подставим известные значения в формулу уравнения плоскости:
$-3(x - 4) - 8(y - (-2)) + 3(z - 7) = 0$.
Теперь упростим полученное выражение, раскрыв скобки:
$-3(x - 4) - 8(y + 2) + 3(z - 7) = 0$
$-3x + 12 - 8y - 16 + 3z - 21 = 0$
Приведем подобные члены:
$-3x - 8y + 3z - 25 = 0$.
Чтобы получить более стандартный вид уравнения, умножим обе части на $-1$:
$3x + 8y - 3z + 25 = 0$.

Ответ: $3x + 8y - 3z + 25 = 0$.

91. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору $\vec{m} (10; -35; -55)$.

91. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору $\vec{m}$ (10; -35; -55).

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и перпендикулярной вектору нормали $\vec{n}(A, B, C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

По условию задачи, плоскость проходит через начало координат, то есть через точку $O(0, 0, 0)$. Следовательно, $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ и $z_0 = 0$.

Также дано, что плоскость перпендикулярна вектору $\vec{m}(10; -35; -55)$. Это означает, что $\vec{m}$ является вектором нормали к плоскости, то есть $\vec{n} = \vec{m}$. Координаты этого вектора являются коэффициентами $A$, $B$ и $C$ в уравнении плоскости:

$A = 10$, $B = -35$, $C = -55$.

Теперь подставим координаты точки и коэффициенты в общее уравнение плоскости:

$10(x - 0) - 35(y - 0) - 55(z - 0) = 0$

Выполним умножение и получим уравнение:

$10x - 35y - 55z = 0$

Это уравнение можно упростить, разделив все его члены на их общий делитель, равный 5:

$\frac{10x}{5} - \frac{35y}{5} - \frac{55z}{5} = \frac{0}{5}$

$2x - 7y - 11z = 0$

Ответ: $2x - 7y - 11z = 0$

92. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку D (0; 9; 0) и перпендикулярной оси ординат.

92. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку D $(0; 9; 0)$ и перпендикулярной оси ординат.

Общее уравнение плоскости, которая проходит через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и имеет нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, задается формулой:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Из условия задачи нам известны:

1. Точка, принадлежащая плоскости: $D(0; 9; 0)$. Отсюда имеем $x_0 = 0$, $y_0 = 9$, $z_0 = 0$.

2. Плоскость перпендикулярна оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что нормальный вектор плоскости $\vec{n}$ коллинеарен направляющему вектору оси $Oy$.

В качестве направляющего вектора оси $Oy$ можно взять единичный вектор (орт) $\vec{j} = (0; 1; 0)$. Следовательно, мы можем принять нормальный вектор плоскости равным $\vec{n} = (0; 1; 0)$. Таким образом, коэффициенты в уравнении плоскости равны $A = 0$, $B = 1$, $C = 0$.

Теперь подставим координаты точки $D$ и компоненты нормального вектора $\vec{n}$ в общее уравнение плоскости:
$0(x - 0) + 1(y - 9) + 0(z - 0) = 0$

Упростим полученное выражение:
$0 + y - 9 + 0 = 0$
$y - 9 = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости. Его также можно записать в виде $y = 9$.

Ответ: $y - 9 = 0$.

93. Найдите точки пересечения плоскости $6x - 2y + 7z + 42 = 0$ с осями координат.

93. Найдите точки пересечения плоскости $6x - 2y + 7z + 42 = 0$ с осями координат.

Для нахождения точек пересечения плоскости с осями координат, необходимо поочередно приравнивать к нулю две из трех координат в уравнении плоскости, так как любая точка на оси координат имеет две нулевые координаты.

Уравнение плоскости: $6x - 2y + 7z + 42 = 0$.

Пересечение с осью Ox

Точки на оси Ox имеют координаты $(x, 0, 0)$. Подставим $y = 0$ и $z = 0$ в уравнение плоскости, чтобы найти координату $x$ точки пересечения:

$6x - 2 \cdot 0 + 7 \cdot 0 + 42 = 0$

$6x + 42 = 0$

$6x = -42$

$x = \frac{-42}{6}$

$x = -7$

Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-7, 0, 0)$.

Ответ: $(-7, 0, 0)$.

Пересечение с осью Oy

Точки на оси Oy имеют координаты $(0, y, 0)$. Подставим $x = 0$ и $z = 0$ в уравнение плоскости, чтобы найти координату $y$ точки пересечения:

$6 \cdot 0 - 2y + 7 \cdot 0 + 42 = 0$

$-2y + 42 = 0$

$-2y = -42$

$y = \frac{-42}{-2}$

$y = 21$

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 21, 0)$.

Ответ: $(0, 21, 0)$.

Пересечение с осью Oz

Точки на оси Oz имеют координаты $(0, 0, z)$. Подставим $x = 0$ и $y = 0$ в уравнение плоскости, чтобы найти координату $z$ точки пересечения:

$6 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 7z + 42 = 0$

$7z + 42 = 0$

$7z = -42$

$z = \frac{-42}{7}$

$z = -6$

Таким образом, точка пересечения с осью Oz имеет координаты $(0, 0, -6)$.

Ответ: $(0, 0, -6)$.

94. Точки $C(7; 9; -6)$ и $C_1(-3; -7; 2)$ симметричны относительно плоскости $\gamma$. Составьте уравнение этой плоскости.

94. Точки $C(7; 9; -6)$ и $C_1(-3; -7; 2)$ симметричны относительно плоскости $\gamma$. Составьте уравнение этой плоскости.

Плоскость $\gamma$, относительно которой симметричны точки C и C₁, является плоскостью, перпендикулярной отрезку $CC_1$ и проходящей через его середину.

1. Нахождение точки, принадлежащей плоскости

Эта точка является серединой M отрезка, соединяющего точки $C(7; 9; -6)$ и $C_1(-3; -7; 2)$. Найдем ее координаты по формуле середины отрезка:

$x_M = \frac{x_C + x_{C_1}}{2} = \frac{7 + (-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_M = \frac{y_C + y_{C_1}}{2} = \frac{9 + (-7)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$z_M = \frac{z_C + z_{C_1}}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, точка $M(2; 1; -2)$ лежит на искомой плоскости $\gamma$.

2. Нахождение вектора нормали к плоскости

Поскольку плоскость $\gamma$ перпендикулярна отрезку $CC_1$, то вектор $\vec{CC_1}$ является вектором нормали $\vec{n}$ к этой плоскости. Найдем его координаты:

$\vec{n} = \vec{CC_1} = (x_{C_1} - x_C; y_{C_1} - y_C; z_{C_1} - z_C) = (-3 - 7; -7 - 9; 2 - (-6)) = (-10; -16; 8)$.

Для упрощения уравнения можно использовать любой коллинеарный вектор. Разделим координаты вектора $\vec{n}$ на -2:

$\vec{n'} = (\frac{-10}{-2}; \frac{-16}{-2}; \frac{8}{-2}) = (5; 8; -4)$.

3. Составление уравнения плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставим координаты точки $M(2; 1; -2)$ и вектора нормали $\vec{n'} = (5; 8; -4)$:

$5(x - 2) + 8(y - 1) - 4(z - (-2)) = 0$

$5(x - 2) + 8(y - 1) - 4(z + 2) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые для получения общего уравнения плоскости:

$5x - 10 + 8y - 8 - 4z - 8 = 0$

$5x + 8y - 4z - 26 = 0$

Ответ: $5x + 8y - 4z - 26 = 0$.

95. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку F (0; -3; 10) и параллельной плоскости $3x - 4y + z - 12 = 0$.

95. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $F(0; -3; 10)$ и параллельной плоскости $3x - 4y + z - 12 = 0$.

Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $\vec{n} = (A; B; C)$ — это вектор нормали (вектор, перпендикулярный плоскости).

По условию, искомая плоскость параллельна плоскости $3x - 4y + z - 12 = 0$. Вектор нормали для данной плоскости — $\vec{n_1} = (3; -4; 1)$.

Так как плоскости параллельны, их нормальные векторы коллинеарны. Это означает, что в качестве вектора нормали для искомой плоскости можно взять тот же самый вектор $\vec{n} = (3; -4; 1)$.

Таким образом, уравнение искомой плоскости будет иметь вид:

$3x - 4y + z + D = 0$

Для нахождения коэффициента $D$ воспользуемся тем, что плоскость проходит через точку $F(0; -3; 10)$. Координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставим их в уравнение:

$3 \cdot (0) - 4 \cdot (-3) + 10 + D = 0$

Выполним вычисления:

$0 + 12 + 10 + D = 0$

$22 + D = 0$

Отсюда находим $D$:

$D = -22$

Подставляем найденное значение $D$ в уравнение плоскости и получаем окончательный ответ.

Ответ: $3x - 4y + z - 22 = 0$