Страница 88 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 4 см и 8 см, а диагональ — $2\sqrt{13}$ см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $60^{\circ}$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

119. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 4 см и 8 см, а диагональ — $2\sqrt{13}$ см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $60^{\circ}$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Для нахождения площади осевого сечения цилиндра, описанного около призмы, необходимо найти его диаметр и высоту. Диаметр основания цилиндра равен диаметру окружности, описанной около основания призмы (равнобокой трапеции), а высота цилиндра совпадает с высотой призмы.

1. Найдем радиус основания цилиндра (R).

Пусть основанием призмы является равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, причем $AD = 8$ см и $BC = 4$ см. Диагональ трапеции $AC = 2\sqrt{13}$ см.Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой от вершины большего основания, равен полуразности оснований. Таким образом, $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2$ см.Найдем длину отрезка AH: $AH = AD - HD = 8 - 2 = 6$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. По теореме Пифагора найдем высоту трапеции CH:$CH^2 = AC^2 - AH^2 = (2\sqrt{13})^2 - 6^2 = 4 \cdot 13 - 36 = 52 - 36 = 16$.$CH = \sqrt{16} = 4$ см.

Радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, равен радиусу окружности, описанной около треугольника ACD. Найдем длину боковой стороны CD из прямоугольного треугольника CHD:$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$.$CD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Теперь мы знаем все стороны треугольника ACD: $AD = 8$ см, $AC = 2\sqrt{13}$ см, $CD = 2\sqrt{5}$ см.Найдем радиус R описанной окружности по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь.Площадь треугольника ACD:$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$ см$^2$.$R = \frac{AD \cdot AC \cdot CD}{4 \cdot S_{ACD}} = \frac{8 \cdot 2\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{5}}{4 \cdot 16} = \frac{32\sqrt{65}}{64} = \frac{\sqrt{65}}{2}$ см.Диаметр основания цилиндра $D = 2R = \sqrt{65}$ см.

2. Найдем высоту цилиндра (H).

Высота цилиндра равна высоте призмы. Угол между диагональю призмы и плоскостью ее основания составляет 60°. Проекцией диагонали призмы на плоскость основания является диагональ основания AC. Таким образом, высота призмы H, диагональ основания AC и диагональ призмы образуют прямоугольный треугольник, в котором H — катет, противолежащий углу 60°.$H = AC \cdot \tan(60°) = 2\sqrt{13} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{39}$ см.

3. Найдем площадь осевого сечения цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания D и высоте H.Площадь осевого сечения $S_{сеч} = D \cdot H$.$S_{сеч} = \sqrt{65} \cdot 2\sqrt{39} = 2\sqrt{65 \cdot 39} = 2\sqrt{(5 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 13)} = 2\sqrt{13^2 \cdot 15} = 2 \cdot 13\sqrt{15} = 26\sqrt{15}$ см$^2$.

Ответ: $26\sqrt{15}$ см$^2$.

120. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, вписанной в этот цилиндр.

120. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, вписанной в этот цилиндр.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $D = 2R$ и высоте цилиндра $H$. Площадь этого сечения по условию равна $S$.

Следовательно, мы можем записать:

$S = D \cdot H = 2R \cdot H$

Правильная шестиугольная призма вписана в цилиндр. Это означает, что основания призмы (правильные шестиугольники) вписаны в основания цилиндра (окружности), а высота призмы равна высоте цилиндра $H$.

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Обозначим сторону основания призмы как $a$. Тогда:

$a = R$

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра её основания ($P_{осн}$) на высоту ($H$).

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$

Периметр основания правильного шестиугольника со стороной $a$ равен:

$P_{осн} = 6a = 6R$

Подставим значение периметра в формулу площади боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = 6R \cdot H$

Теперь выразим полученное значение через $S$. Мы знаем, что $S = 2RH$.

$S_{бок} = 6RH = 3 \cdot (2RH) = 3S$

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, в 3 раза больше площади осевого сечения этого цилиндра.

Ответ: $3S$

121. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр, высота которого равна $h$, а угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

121. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр, высота которого равна $h$, а угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Поскольку правильная треугольная призма вписана в цилиндр, их высоты равны $h$. Основание призмы, правильный треугольник, вписано в окружность основания цилиндра. Это означает, что окружность основания цилиндра является описанной окружностью для треугольника в основании призмы.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника, высота $h$ и диаметр $D$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и плоскостью основания – это угол между диагональю и диаметром $D$, который по условию равен $\beta$.

Из этого прямоугольного треугольника можно выразить диаметр $D$ через высоту $h$ и угол $\beta$:
$\tan(\beta) = \frac{h}{D}$
Отсюда $D = \frac{h}{\tan(\beta)} = h \cot(\beta)$.

Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{h \cot(\beta)}{2}$.

Этот радиус $R$ также является радиусом окружности, описанной около правильного треугольника в основании призмы. Пусть сторона этого треугольника равна $a$. Связь между стороной правильного треугольника и радиусом описанной окружности задается формулой:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Выразим сторону треугольника $a$:
$a = R\sqrt{3} = \frac{h \cot(\beta)}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}h \cot(\beta)}{2}$.

Площадь боковой поверхности правильной призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра её основания $P$ на высоту $h$.
$S_{бок} = P \cdot h$
Периметр основания, которое является правильным треугольником со стороной $a$, равен $P = 3a$.
Подставим найденное выражение для $a$:
$P = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}h \cot(\beta)}{2} = \frac{3\sqrt{3}h \cot(\beta)}{2}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = P \cdot h = \left(\frac{3\sqrt{3}h \cot(\beta)}{2}\right) \cdot h = \frac{3\sqrt{3}h^2 \cot(\beta)}{2}$.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{3}}{2}h^2 \cot(\beta) $

122. Правильная треугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен $2\sqrt{3}$ см. Площадь боковой поверхности призмы равна $180 \text{ см}^2$. Найдите высоту цилиндра.

122. Правильная треугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен $2\sqrt{3}$ см. Площадь боковой поверхности призмы равна $180 \text{ см}^2$. Найдите высоту цилиндра.

Поскольку правильная треугольная призма описана около цилиндра, это означает, что цилиндр вписан в призму. Следовательно, основания цилиндра (окружности) вписаны в основания призмы (правильные треугольники), а высота цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы $H_{пр}$.

В основании призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник, в который вписана окружность, являющаяся основанием цилиндра. Радиус этой вписанной окружности дан по условию: $r = 2\sqrt{3}$ см.

Связь между стороной равностороннего треугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $r$ выражается формулой:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Выразим сторону треугольника $a$ из этой формулы:

$a = r \cdot 2\sqrt{3}$

Подставим известное значение радиуса:

$a = 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется как произведение периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $H_{пр}$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H_{пр}$

Периметр основания (равностороннего треугольника) равен:

$P_{осн} = 3a = 3 \cdot 12 = 36$ см.

По условию, площадь боковой поверхности призмы $S_{бок} = 180 \text{ см}^2$. Теперь мы можем найти высоту призмы:

$H_{пр} = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{180}{36} = 5$ см.

Так как высота цилиндра равна высоте призмы, высота цилиндра также равна 5 см.

Ответ: 5 см.

123. В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма, а около него описана правильная треугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

123. В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма, а около него описана правильная треугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота — $H$. Поскольку призмы прямые (так как они правильные), и одна вписана в цилиндр, а другая описана около него, их высоты равны высоте цилиндра $H$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм

Для начала найдём площадь боковой поверхности вписанной правильной четырёхугольной призмы ($S_{впис}$). В основании этой призмы лежит квадрат, вписанный в окружность основания цилиндра радиуса $R$. Пусть сторона квадрата равна $a_4$. Диагональ этого квадрата равна диаметру окружности: $d = 2R$. Связь диагонали и стороны квадрата выражается формулой $d = a_4\sqrt{2}$. Следовательно, $a_4\sqrt{2} = 2R$, откуда находим сторону квадрата: $a_4 = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$. Периметр основания призмы (квадрата) равен $P_{4} = 4a_4 = 4R\sqrt{2}$. Тогда площадь боковой поверхности вписанной призмы составляет: $S_{впис} = P_{4} \cdot H = 4R\sqrt{2}H$.

Далее найдём площадь боковой поверхности описанной правильной треугольной призмы ($S_{опис}$). В основании этой призмы лежит равносторонний треугольник, описанный около окружности основания цилиндра радиуса $R$. Таким образом, окружность радиуса $R$ является вписанной в этот треугольник. Пусть сторона треугольника равна $a_3$. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности находится по формуле $R = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}$. Отсюда выражаем сторону треугольника: $a_3 = 2R\sqrt{3}$. Периметр основания призмы (треугольника) равен $P_{3} = 3a_3 = 3 \cdot 2R\sqrt{3} = 6R\sqrt{3}$. Тогда площадь боковой поверхности описанной призмы составляет: $S_{опис} = P_{3} \cdot H = 6R\sqrt{3}H$.

Теперь мы можем найти искомое отношение площадей боковых поверхностей. В условии сначала упоминается вписанная призма, а затем описанная, поэтому найдём отношение $S_{впис}$ к $S_{опис}$: $$ \frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{4R\sqrt{2}H}{6R\sqrt{3}H} $$ Сократив общие множители $R$ и $H$, а также коэффициент 2, получим: $$ \frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} $$ Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$: $$ \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{6}}{9} $$

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{9}$.

124. Основанием призмы является равнобокая трапеция, большее основание и боковая сторона которой равны соответственно 27 см и 15 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{370}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

124. Основанием призмы является равнобокая трапеция, большее основание и боковая сторона которой равны соответственно 27 см и 15 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{370}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Поскольку в призму вписан цилиндр, то призма является прямой, а в ее основание — равнобокую трапецию — можно вписать окружность. Эта окружность является основанием вписанного цилиндра.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона — $c$. По условию, большее основание $a = 27$ см, боковая сторона $c = 15$ см.

В любой четырехугольник, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции это свойство выглядит так: $a + b = 2c$.
Найдем меньшее основание $b$:
$27 + b = 2 \cdot 15$
$27 + b = 30$
$b = 3$ см.

Высота трапеции $h$ является диаметром вписанной окружности. Чтобы найти высоту, проведем ее из вершины меньшего основания к большему. Образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона $c$, а одним из катетов — отрезок, равный полуразности оснований.
Длина этого катета: $\frac{a-b}{2} = \frac{27-3}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

Радиус вписанной окружности (и основания цилиндра) $r$ равен половине высоты трапеции:
$r = \frac{h}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

Теперь найдем высоту призмы $H$. Квадрат диагонали прямой призмы $D_{призмы}$ равен сумме квадратов ее высоты $H$ и диагонали ее основания $d_{осн}$: $D_{призмы}^2 = d_{осн}^2 + H^2$.
Сначала найдем квадрат диагонали основания (трапеции). Диагональ $d_{осн}$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — это высота трапеции $h$ и отрезок на большем основании, равный $a - \frac{a-b}{2}$.
Длина этого отрезка: $27 - 12 = 15$ см.
Найдем квадрат диагонали основания по теореме Пифагора:
$d_{осн}^2 = h^2 + 15^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306$.

Теперь найдем высоту призмы $H$. По условию $D_{призмы} = \sqrt{370}$ см.
$D_{призмы}^2 = d_{осн}^2 + H^2$
$(\sqrt{370})^2 = 306 + H^2$
$370 = 306 + H^2$
$H^2 = 370 - 306 = 64$
$H = \sqrt{64} = 8$ см.
Высота вписанного цилиндра равна высоте призмы, то есть $H_{цил} = 8$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок. цил.} = 2\pi r H_{цил}$.
$S_{бок. цил.} = 2 \cdot \pi \cdot 4.5 \cdot 8 = 9\pi \cdot 8 = 72\pi$ см$^2$.

Ответ: $72\pi$ см$^2$.

125. Основанием призмы является ромб, большая диагональ которого равна $d$, а тупой угол равен $\alpha$. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

125. Основанием призмы является ромб, большая диагональ которого равна $d$, а тупой угол равен $\alpha$. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Площадь осевого сечения цилиндра $S_{ос}$ вычисляется как произведение его диаметра $D_{ц}$ на высоту $H_{ц}$: $S_{ос} = D_{ц} \cdot H_{ц}$. Для решения задачи необходимо найти эти две величины, исходя из данных об описанной призме.

1. Нахождение диаметра основания цилиндра

Поскольку цилиндр вписан в призму, его основание (окружность) вписано в основание призмы (ромб). Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте этого ромба, $h_{ромба}$. Таким образом, $D_{ц} = h_{ромба}$.

Рассмотрим ромб в основании. Дано: большая диагональ равна $d$, тупой угол равен $\alpha$. Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Углы этих треугольников равны $\frac{\alpha}{2}$ и $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Половина большей диагонали $\frac{d}{2}$ является катетом, противолежащим углу $\frac{\alpha}{2}$.

Пусть сторона ромба равна $a$. Из прямоугольного треугольника имеем: $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{a}$, откуда сторона ромба $a = \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Площадь ромба можно выразить как $S_{ромба} = a \cdot h_{ромба}$ или как $S_{ромба} = a^2 \sin(\alpha)$. Отсюда высота ромба $h_{ромба} = a \sin(\alpha)$.

Подставим найденное выражение для стороны $a$ и используем формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$: $h_{ромба} = \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \left(2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})\right) = d \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Таким образом, диаметр основания вписанного цилиндра равен: $D_{ц} = d \cos(\frac{\alpha}{2})$.

2. Нахождение высоты цилиндра

Высота вписанного цилиндра $H_{ц}$ совпадает с высотой призмы $H_{п}$. Из условия задачи известно, что меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$.

Эта диагональ, высота призмы $H_{п}$ и меньшая диагональ ромба $d_{м}$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $H_{п}$ является катетом, противолежащим углу $\beta$, а $d_{м}$ — прилежащим катетом. Следовательно: $\tan(\beta) = \frac{H_{п}}{d_{м}}$, откуда $H_{п} = d_{м} \cdot \tan(\beta)$.

Найдем меньшую диагональ ромба $d_{м}$. В том же прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей, имеем: $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{d_{м}/2} = \frac{d}{d_{м}}$.

Отсюда $d_{м} = \frac{d}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = d \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь можно найти высоту цилиндра: $H_{ц} = H_{п} = d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$.

3. Вычисление площади осевого сечения

Зная диаметр $D_{ц}$ и высоту $H_{ц}$, вычисляем площадь осевого сечения цилиндра: $S_{ос} = D_{ц} \cdot H_{ц} = \left(d \cos(\frac{\alpha}{2})\right) \cdot \left(d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)\right)$.

Упростим полученное выражение, используя тождество $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$: $S_{ос} = d^2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \tan(\beta) = d^2 \frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta)$.

Ответ: $d^2 \frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta)$.

126. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, описанной около этого цилиндра.

126. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, описанной около этого цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d = 2r$.

Площадь этого осевого сечения по условию равна $S$. Таким образом, мы имеем соотношение: $S = d \cdot h = 2rh$.

Правильная четырехугольная призма, описанная около цилиндра, — это прямая призма, в основании которой лежит квадрат. Поскольку призма описана около цилиндра, ее высота равна высоте цилиндра $h$, а окружность основания цилиндра вписана в квадрат, являющийся основанием призмы.

Сторона квадрата $a$, в который вписана окружность радиуса $r$, равна диаметру этой окружности. Следовательно, сторона основания призмы $a = d = 2r$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) находится как произведение периметра ее основания ($P_{осн}$) на высоту ($h$).

Периметр основания призмы (квадрата со стороной $a = 2r$) равен: $P_{осн} = 4a = 4(2r) = 8r$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 8r \cdot h = 8rh$.

Нам необходимо выразить $S_{бок}$ через известную величину $S$. Вспомним, что $S = 2rh$. Сравним это с выражением для $S_{бок}$: $S_{бок} = 8rh = 4 \cdot (2rh)$.

Подставив $S$ вместо $2rh$, получаем: $S_{бок} = 4S$.

Ответ: $4S$.

127. В правильной шестиугольной призме сторона основания равна $a$, а высота — $H$. В призму вписан цилиндр. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, по которым боковая поверхность цилиндра касается двух соседних боковых граней призмы.

127. В правильной шестиугольной призме сторона основания равна $a$, а высота — $H$. В призму вписан цилиндр. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, по которым боковая поверхность цилиндра касается двух соседних боковых граней призмы.

Поскольку призма правильная, её основание — правильный шестиугольник. Цилиндр вписан в призму, следовательно, высота цилиндра равна высоте призмы $H$, а основание цилиндра — круг, вписанный в правильный шестиугольник со стороной $a$.

Радиус $r$ круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной $a$, равен апофеме этого шестиугольника. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Высота такого треугольника (которая и является апофемой) находится по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Сечение цилиндра, о котором говорится в задаче, проходит через две образующие. Образующие цилиндра параллельны друг другу и перпендикулярны основаниям, а их длина равна высоте цилиндра $H$. Следовательно, искомое сечение является прямоугольником.

Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$. Вторая сторона равна расстоянию между двумя образующими, по которым боковая поверхность цилиндра касается двух соседних боковых граней призмы. Это расстояние равно длине хорды, соединяющей точки касания основания цилиндра (круга) с двумя соседними сторонами основания призмы (шестиугольника).

Рассмотрим основание призмы. Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника и вписанного в него круга. Пусть $M_1$ и $M_2$ — точки касания круга с двумя соседними сторонами шестиугольника. Тогда отрезки $OM_1$ и $OM_2$ — это радиусы, проведенные в точки касания, и $OM_1 = OM_2 = r$.

Угол между радиусами, проведенными в точки касания с двумя соседними сторонами правильного n-угольника, равен $\frac{360^\circ}{n}$. Для шестиугольника ($n=6$) этот угол составляет: $\angle M_1OM_2 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$

Рассмотрим треугольник $\triangle M_1OM_2$. Он является равнобедренным, так как $OM_1 = OM_2 = r$. Поскольку угол при вершине $\angle M_1OM_2$ равен $60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. Следовательно, расстояние между точками $M_1$ и $M_2$ равно радиусу: $|M_1M_2| = r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Это и есть длина второй стороны прямоугольного сечения. Площадь сечения $S$ равна произведению его сторон: $S = H \cdot |M_1M_2| = H \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{aH\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{aH\sqrt{3}}{2}$