Номер 126, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, описанной около этого цилиндра.

126. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, описанной около этого цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d = 2r$.

Площадь этого осевого сечения по условию равна $S$. Таким образом, мы имеем соотношение: $S = d \cdot h = 2rh$.

Правильная четырехугольная призма, описанная около цилиндра, — это прямая призма, в основании которой лежит квадрат. Поскольку призма описана около цилиндра, ее высота равна высоте цилиндра $h$, а окружность основания цилиндра вписана в квадрат, являющийся основанием призмы.

Сторона квадрата $a$, в который вписана окружность радиуса $r$, равна диаметру этой окружности. Следовательно, сторона основания призмы $a = d = 2r$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) находится как произведение периметра ее основания ($P_{осн}$) на высоту ($h$).

Периметр основания призмы (квадрата со стороной $a = 2r$) равен: $P_{осн} = 4a = 4(2r) = 8r$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 8r \cdot h = 8rh$.

Нам необходимо выразить $S_{бок}$ через известную величину $S$. Вспомним, что $S = 2rh$. Сравним это с выражением для $S_{бок}$: $S_{бок} = 8rh = 4 \cdot (2rh)$.

Подставив $S$ вместо $2rh$, получаем: $S_{бок} = 4S$.

Ответ: $4S$.