Номер 133, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Радиус основания конуса равен $R$, а угол между образующей и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

133. Радиус основания конуса равен $R$, а угол между образующей и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей.

Согласно условию задачи, радиус основания конуса $r = R$. Для нахождения площади боковой поверхности нам необходимо определить длину образующей $l$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса ($H$), радиусом его основания ($R$) и образующей ($l$). В этом треугольнике:

• Образующая $l$ является гипотенузой.
• Радиус $R$ является катетом.
• Высота $H$ является вторым катетом.

Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между образующей $l$ (гипотенузой) и радиусом $R$ (прилежащим катетом). По условию, этот угол равен $\alpha$.

Используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике, мы можем связать радиус, образующую и угол $\alpha$: $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{R}{l}$

Из этого соотношения выразим длину образующей $l$: $l = \frac{R}{\cos(\alpha)}$

Теперь, зная радиус $r=R$ и длину образующей $l = \frac{R}{\cos(\alpha)}$, мы можем подставить эти значения в формулу площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot R \cdot \frac{R}{\cos(\alpha)}$

Упростив выражение, получаем окончательную формулу: $S_{бок} = \frac{\pi R^2}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $ \frac{\pi R^2}{\cos(\alpha)} $