Номер 136, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Через две образующие конуса проведено сечение.

Угол между одной из этих образующих и хордой, по которой проведённое сечение пересекает основание, равен $\alpha$, а угол между образующей и плоскостью основания равен $\beta$.

Высота конуса равна $h$. Найдите площадь проведённого сечения.

136. Через две образующие конуса проведено сечение. Угол между одной из этих образующих и хордой, по которой проведённое сечение пересекает основание, равен $\alpha$, а угол между образующей и плоскостью основания равен $\beta$. Высота конуса равна $h$. Найдите площадь проведённого сечения.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, а $SO = h$ — высота. Сечение, о котором идет речь в задаче, представляет собой треугольник $SAB$, где $SA$ и $SB$ — образующие конуса, а $AB$ — хорда в круге основания. Так как все образующие конуса равны, треугольник $SAB$ является равнобедренным ($SA = SB$).

Обозначим длину образующей как $L$, т.е. $SA = SB = L$.

Согласно условию, угол между одной из образующих ($SA$) и хордой ($AB$) равен $\alpha$. В равнобедренном треугольнике $SAB$ это будут углы при основании: $\angle SAB = \angle SBA = \alpha$.

Угол между образующей ($SA$) и плоскостью основания — это угол между прямой $SA$ и её проекцией на эту плоскость. Проекцией точки $S$ является центр основания $O$, а проекцией точки $A$ является сама точка $A$. Следовательно, проекцией образующей $SA$ является отрезок $OA$ (радиус основания), и по условию $\angle SAO = \beta$.

1. Найдем длину образующей $L$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$, так как $SO$ — высота конуса). В этом треугольнике катет $SO = h$ противолежит углу $\beta$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(\beta) = \frac{SO}{SA} = \frac{h}{L}$
Отсюда выразим длину образующей $L$:
$L = \frac{h}{\sin(\beta)}$

2. Найдем площадь сечения $S_{SAB}$
Площадь треугольника $SAB$ можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(\angle ASB)$
Поскольку $SA = SB = L$, формула приобретает вид:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} L^2 \sin(\angle ASB)$
Найдем угол $\angle ASB$. Сумма углов в треугольнике $SAB$ равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle ASB = 180^\circ - (\angle SAB + \angle SBA) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$
Используем формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, чтобы найти синус угла при вершине:
$\sin(\angle ASB) = \sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$
Подставим это значение в формулу площади:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} L^2 \sin(2\alpha)$

3. Выразим площадь через заданные величины
Теперь подставим выражение для $L$, найденное в первом шаге, в формулу для площади:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} \left(\frac{h}{\sin(\beta)}\right)^2 \sin(2\alpha)$
$S_{SAB} = \frac{1}{2} \frac{h^2}{\sin^2(\beta)} \sin(2\alpha) = \frac{h^2 \sin(2\alpha)}{2\sin^2(\beta)}$

Ответ: $\frac{h^2 \sin(2\alpha)}{2\sin^2(\beta)}$