Номер 138, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. В основании конуса проведена хорда $BC$. Точка $D$ — вершина конуса, отрезок $DO$ — его высота, $DO = 3\sqrt{10}$ см. Расстояние от точки $O$ до плоскости $BDC$ равно 3 см. Найдите расстояние от точки $O$ до хорды $BC$.

138. В основании конуса проведена хорда $BC$. Точка $D$ — вершина конуса, отрезок $DO$ — его высота, $DO = 3\sqrt{10}$ см. Расстояние от точки $O$ до плоскости $BDC$ равно 3 см. Найдите расстояние от точки $O$ до хорды $BC$.

Пусть O — центр основания конуса, а D — его вершина. DO — высота конуса, $DO = 3\sqrt{10}$ см.
BC — хорда в основании. Расстояние от точки O до хорды BC — это длина перпендикуляра, опущенного из O на BC. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой M. Таким образом, OM — искомое расстояние, и $OM \perp BC$.

Поскольку DO — высота конуса, она перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $DO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и OM. Это означает, что треугольник $\triangle DOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине O.

Прямая BC перпендикулярна OM (по построению) и перпендикулярна DO (так как DO перпендикулярна всей плоскости основания). Поскольку прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым OM и DO, она перпендикулярна плоскости, в которой они лежат, то есть плоскости DOM.

Расстояние от точки O до плоскости BDC — это длина перпендикуляра OH, опущенного из точки O на эту плоскость. Так как плоскость BDC проходит через прямую BC, которая перпендикулярна плоскости DOM, то плоскости BDC и DOM взаимно перпендикулярны. Их линия пересечения — прямая DM.

Перпендикуляр OH из точки O к плоскости BDC должен лежать в плоскости DOM и быть перпендикулярным линии пересечения DM. Следовательно, OH является высотой в прямоугольном треугольнике $\triangle DOM$, проведенной к гипотенузе DM.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник $\triangle DOM$, в котором известны катет $DO = 3\sqrt{10}$ см и высота к гипотенузе $OH = 3$ см. Нам нужно найти второй катет OM.

В прямоугольном треугольнике существует соотношение между катетами ($a, b$) и высотой ($h$), проведенной к гипотенузе:$ \frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} $

Применим эту формулу к треугольнику $\triangle DOM$:$ \frac{1}{OH^2} = \frac{1}{DO^2} + \frac{1}{OM^2} $

Подставим известные значения:$ \frac{1}{3^2} = \frac{1}{(3\sqrt{10})^2} + \frac{1}{OM^2} $$ \frac{1}{9} = \frac{1}{9 \cdot 10} + \frac{1}{OM^2} $$ \frac{1}{9} = \frac{1}{90} + \frac{1}{OM^2} $

Теперь найдем $\frac{1}{OM^2}$:$ \frac{1}{OM^2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{90} $Приведем дроби к общему знаменателю:$ \frac{1}{OM^2} = \frac{10}{90} - \frac{1}{90} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10} $

Отсюда следует, что:$ OM^2 = 10 $$ OM = \sqrt{10} $ см.

Ответ: $\sqrt{10}$ см.