Номер 134, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Радиус основания конуса равен 14 см, а высота — $7\sqrt{2}$ см. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

134. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна 90°. Радиус основания конуса равен 14 см, а высота — $7\sqrt{2}$ см. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

Пусть S — вершина конуса, O — центр его основания, а плоскость сечения проходит через вершину S и пересекает основание по хорде AB. Угол между плоскостью сечения (SAB) и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями.

Для нахождения этого угла построим его линейную меру. Проведем из центра основания O перпендикуляр OM к хорде AB. Так как треугольник AOB равнобедренный (OA = OB как радиусы), то OM является также его медианой и биссектрисой.

Соединим точки S и M. SM — медиана в равнобедренном треугольнике SAB (SA = SB как образующие конуса), а значит, SM является и его высотой, то есть $SM \perp AB$.

Поскольку $OM \perp AB$ и $SM \perp AB$, то угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Нам нужно найти величину этого угла.

Рассмотрим треугольник SOM. SO — высота конуса, поэтому $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку O. Следовательно, $SO \perp OM$, и треугольник SOM — прямоугольный.

Для нахождения угла $\angle SMO$ нам нужно знать длины катетов SO и OM.

1. По условию, высота конуса $SO = H = 7\sqrt{2}$ см.

2. Найдем длину OM. Рассмотрим треугольник AOB в основании конуса. По условию, хорда AB стягивает дугу в 90°. Это означает, что центральный угол $\angle AOB = 90°$. Треугольник AOB является прямоугольным и равнобедренным, где катеты $OA = OB = R = 14$ см. OM — это высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике OMA ($\angle OMA = 90°$) угол $\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{90°}{2} = 45°$. Тогда катет OM можно найти как:$OM = OA \cdot \cos(\angle AOM) = 14 \cdot \cos(45°) = 14 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$ см.

3. Теперь в прямоугольном треугольнике SOM мы знаем длины обоих катетов: $SO = 7\sqrt{2}$ см и $OM = 7\sqrt{2}$ см. Найдем тангенс искомого угла $\angle SMO$:$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{7\sqrt{2}}{7\sqrt{2}} = 1$.

Угол, тангенс которого равен 1, составляет 45°.

Ответ: 45°.