Номер 137, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде длиной 6 см. Эта хорда стягивает дугу, градусная мера которой равна $120^\circ$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания равен $60^\circ$. Найдите:

1) площадь образовавшегося сечения;

2) площадь боковой поверхности конуса.

137. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде длиной 6 см. Эта хорда стягивает дугу, градусная мера которой равна $120^\circ$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания равен $60^\circ$. Найдите:

1) площадь образовавшегося сечения;

2) площадь боковой поверхности конуса.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания. Плоскость проходит через две образующие $SA$ и $SB$, пересекая основание по хорде $AB$. Образовавшееся сечение — это равнобедренный треугольник $SAB$ с основанием $AB = 6$ см и боковыми сторонами $SA = SB = L$, где $L$ — длина образующей конуса.

Рассмотрим основание конуса. Хорда $AB$ стягивает дугу в $120°$, значит, центральный угол $\angle AOB = 120°$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный ($OA = OB = R$, где $R$ — радиус основания). Проведем высоту $OM$ в треугольнике $AOB$ из центра $O$ к хорде $AB$. $OM$ является также медианой и биссектрисой.

Следовательно, $M$ — середина $AB$, $AM = MB = 6 / 2 = 3$ см.
$\angle AOM = \angle BOM = 120° / 2 = 60°$.

Из прямоугольного треугольника $AOM$ найдем радиус основания $R$ и длину отрезка $OM$:
$R = OA = \frac{AM}{\sin(60°)} = \frac{3}{\sqrt{3}/2} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.
$OM = \frac{AM}{\tan(60°)} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Угол между плоскостью сечения ($SAB$) и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Так как $OM \perp AB$ (как высота в равнобедренном $\triangle AOB$) и $SM \perp AB$ (так как $SM$ — высота в равнобедренном $\triangle SAB$), то искомый угол — это $\angle SMO$, и по условию он равен $60°$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Он прямоугольный, так как $SO$ (высота конуса) перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, т.е. $SO \perp OM$.

Площадь сечения (треугольника $SAB$) равна $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM$.
Найдем высоту $SM$ из прямоугольного треугольника $SOM$.
$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM} \implies \cos(60°) = \frac{\sqrt{3}}{SM}$.
$\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{SM} \implies SM = 2\sqrt{3}$ см.
Теперь вычислим площадь сечения:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см².

Ответ: $6\sqrt{3}$ см².

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания, а $L$ — длина образующей.
Радиус основания мы уже нашли: $R = 2\sqrt{3}$ см.
Длину образующей $L = SA$ найдем из прямоугольного треугольника $SMA$ по теореме Пифагора:
$L^2 = SA^2 = SM^2 + AM^2$.
$L^2 = (2\sqrt{3})^2 + 3^2 = 4 \cdot 3 + 9 = 12 + 9 = 21$.
$L = \sqrt{21}$ см.
Теперь вычислим площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{21}) = 2\pi\sqrt{3 \cdot 21} = 2\pi\sqrt{63} = 2\pi\sqrt{9 \cdot 7} = 2\pi \cdot 3\sqrt{7} = 6\pi\sqrt{7}$ см².

Ответ: $6\pi\sqrt{7}$ см².