Номер 141, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, центральный угол которого равен 135°. Найдите площадь полной поверхности конуса, если его высота равна $2\sqrt{55}$ см.

141. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, центральный угол которого равен $135^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, если его высота равна $2\sqrt{55}$ см.

Для нахождения площади полной поверхности конуса воспользуемся формулой:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r+l)$,где $r$ – радиус основания конуса, $l$ – его образующая.

Высота конуса $h$, радиус основания $r$ и образующая $l$ связаны соотношением по теореме Пифагора:$l^2 = r^2 + h^2$

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги сектора $C_{дуги}$ равна длине окружности основания конуса $C_{осн}$.$C_{осн} = 2\pi r$

Длина дуги сектора с центральным углом $\alpha = 135^\circ$ и радиусом $l$ вычисляется по формуле:$C_{дуги} = \frac{2\pi l \alpha}{360^\circ}$

Приравнивая выражения для $C_{осн}$ и $C_{дуги}$, получаем связь между $r$ и $l$:$2\pi r = \frac{2\pi l \cdot 135^\circ}{360^\circ}$

Сократим обе части уравнения на $2\pi$:$r = l \cdot \frac{135}{360}$Упростим дробь: $\frac{135}{360} = \frac{135 \div 45}{360 \div 45} = \frac{3}{8}$.Таким образом, $r = \frac{3}{8}l$.

Теперь подставим это соотношение и данную высоту $h = 2\sqrt{55}$ см в формулу теоремы Пифагора:$l^2 = r^2 + h^2$$l^2 = \left(\frac{3}{8}l\right)^2 + (2\sqrt{55})^2$$l^2 = \frac{9}{64}l^2 + 4 \cdot 55$$l^2 = \frac{9}{64}l^2 + 220$

Выполним преобразования, чтобы найти $l$:$l^2 - \frac{9}{64}l^2 = 220$$\frac{64l^2 - 9l^2}{64} = 220$$\frac{55l^2}{64} = 220$$l^2 = \frac{220 \cdot 64}{55}$$l^2 = 4 \cdot 64 = 256$$l = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь найдем радиус основания $r$:$r = \frac{3}{8}l = \frac{3}{8} \cdot 16 = 6$ см.

Наконец, вычислим площадь полной поверхности конуса:$S_{полн} = \pi r (r+l) = \pi \cdot 6 \cdot (6+16) = 6\pi \cdot 22 = 132\pi$ см$^2$.

Ответ: $132\pi$ см$^2$.