Номер 139, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\beta$, проведено сечение. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен $\varphi$. Найдите площадь сечения, если площадь боковой поверхности конуса равна $S$.

139. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $ \beta $, проведено сечение. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен $ \varphi $. Найдите площадь сечения, если площадь боковой поверхности конуса равна $ S $.

Пусть $L$ - длина образующей конуса, а $R$ - радиус его основания.

Сечение представляет собой равнобедренный треугольник, образованный двумя образующими длиной $L$ и хордой в основании. Угол между образующими равен $\beta$. Площадь этого треугольника (сечения) $S_{сеч}$ можно найти по формуле:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} L \cdot L \sin \beta = \frac{1}{2} L^2 \sin \beta$

Площадь боковой поверхности конуса $S$ задана и вычисляется по формуле:
$S = \pi R L$

Наша задача - выразить $L^2$ через известные величины $S$, $\beta$ и $\phi$.

Пусть $V$ - вершина конуса, а $A$ и $B$ - точки на окружности основания, через которые проходят образующие. Сечение - это треугольник $\triangle VAB$. Пусть $M$ - середина хорды $AB$. Тогда $VM$ - высота, медиана и биссектриса в равнобедренном $\triangle VAB$, а $OM$ - высота и медиана в равнобедренном $\triangle OAB$ (где $O$ - центр основания).

Угол между плоскостью сечения ($VAB$) и плоскостью основания - это двугранный угол, который измеряется линейным углом $\angle VMO = \phi$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VMA$. Угол $\angle AVM = \frac{\beta}{2}$.
Отсюда:
$AM = L \sin(\frac{\beta}{2})$
$VM = L \cos(\frac{\beta}{2})$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VOM$.
$OM = VM \cos \phi = L \cos(\frac{\beta}{2}) \cos \phi$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$ в плоскости основания. По теореме Пифагора:
$R^2 = OA^2 = OM^2 + AM^2$
Подставим найденные выражения для $OM$ и $AM$:
$R^2 = (L \cos(\frac{\beta}{2}) \cos \phi)^2 + (L \sin(\frac{\beta}{2}))^2 = L^2 \cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + L^2 \sin^2(\frac{\beta}{2})$
$R^2 = L^2 (\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2}))$

Теперь воспользуемся формулой для площади боковой поверхности $S = \pi R L$. Возведем ее в квадрат:
$S^2 = \pi^2 R^2 L^2$
Подставим в это уравнение выражение для $R^2$:
$S^2 = \pi^2 L^2 \cdot [L^2 (\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2}))]$
$S^2 = \pi^2 L^4 (\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2}))$

Выразим отсюда $L^2$:
$L^4 = \frac{S^2}{\pi^2 (\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2}))}$
$L^2 = \sqrt{\frac{S^2}{\pi^2 (\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2}))}} = \frac{S}{\pi \sqrt{\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2})}}$

Наконец, подставим найденное выражение для $L^2$ в формулу площади сечения:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} L^2 \sin \beta = \frac{1}{2} \cdot \frac{S \sin \beta}{\pi \sqrt{\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2})}}$

Ответ: $ \frac{S \sin \beta}{2\pi \sqrt{\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2})}} $