Номер 143, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. Стороны треугольника равны 4 см, 13 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

143. Стороны треугольника равны 4 см, 13 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть стороны треугольника равны $a = 4$ см, $b = 13$ см и $c = 15$ см. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его наибольшую сторону ($c = 15$ см).

В результате вращения образуется тело, состоящее из двух конусов с общим основанием. Образующими этих конусов являются две меньшие стороны треугольника ($l_1 = 4$ см и $l_2 = 13$ см). Радиус общего основания конусов ($r$) равен высоте треугольника ($h$), опущенной на наибольшую сторону.

Площадь поверхности этого тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

$S_{тела} = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$.

Чтобы найти радиус $r$, сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона.

1. Вычислим полупериметр треугольника ($p$):
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

2. Вычислим площадь треугольника ($S_{\triangle}$):
$S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)}$
$S_{\triangle} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24$ см$^2$.

3. Найдем высоту ($h$), опущенную на наибольшую сторону ($c=15$ см), используя другую формулу площади треугольника $S_{\triangle} = \frac{1}{2} c h$. Эта высота и будет радиусом ($r$) основания конусов.
$24 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h$
$h = \frac{24 \cdot 2}{15} = \frac{48}{15} = \frac{16}{5} = 3.2$ см.
Следовательно, $r = 3.2$ см.

4. Теперь можем найти площадь поверхности тела вращения:
$S_{тела} = \pi r (l_1 + l_2) = \pi \cdot 3.2 \cdot (4 + 13) = \pi \cdot 3.2 \cdot 17 = 54.4\pi$ см$^2$.

Ответ: $54.4\pi$ см$^2$.