Номер 150, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

150. Радиус большего основания усечённого конуса равен 10 см, образующая — 13 см, а высота — 12 см. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

150. Радиус большего основания усечённого конуса равен 10 см, образующая — 13 см, а высота — 12 см. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса является равнобедренной трапецией. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований усечённого конуса, боковые стороны равны образующей, а высота трапеции равна высоте конуса.

Обозначим радиус большего основания как $R$, радиус меньшего основания как $r$, высоту как $h$ и образующую как $l$.

По условию задачи имеем:

• $R = 10$ см
• $l = 13$ см
• $h = 12$ см

Площадь трапеции (осевого сечения) вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции. В нашем случае $a = 2R$ и $b = 2r$. Тогда формула для площади осевого сечения примет вид:

$S = \frac{2R+2r}{2} \cdot h = (R+r) \cdot h$

Для вычисления площади нам необходимо найти радиус меньшего основания $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется высотой $h$, образующей $l$ и отрезком, равным разности радиусов оснований $(R-r)$. В этом треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и разность радиусов $(R-r)$ — катетами.

Применим теорему Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Выразим из этой формулы $(R-r)^2$:

$(R-r)^2 = l^2 - h^2$

Подставим известные значения:

$(10-r)^2 = 13^2 - 12^2$

$(10-r)^2 = 169 - 144$

$(10-r)^2 = 25$

$10-r = \sqrt{25}$

Поскольку $R$ — радиус большего основания, то $R > r$, значит $R-r > 0$. Следовательно, мы берем положительное значение корня:

$10-r = 5$

$r = 10 - 5 = 5$ см.

Теперь, когда все величины известны, мы можем вычислить площадь осевого сечения:

$S = (R+r) \cdot h = (10+5) \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$ см².

Ответ: 180 см².