Номер 153, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. Высота усечённого конуса равна 6 см, а угол между его высотой и образующей равен $30^\circ$. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна образующей, лежащей в плоскости этого осевого сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

153. Высота усечённого конуса равна 6 см, а угол между его высотой и образующей равен $30^\circ$. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна образующей, лежащей в плоскости этого осевого сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса как $R$ (большее) и $r$ (меньшее), высоту как $h$, а образующую как $l$.

Из условия задачи имеем: $h = 6$ см, угол между высотой и образующей равен $30^{\circ}$.

Рассмотрим осевое сечение конуса — это равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD=2R$ и $BC=2r$ — её основания, а $AB=CD=l$ — боковые стороны. Проведём высоту трапеции $BK$ из точки $B$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABK$ катет $BK$ равен высоте конуса $h=6$ см. Угол между высотой конуса и образующей — это угол $\angle ABK = 30^{\circ}$.

Из прямоугольного треугольника $ABK$ найдём образующую $l$ (гипотенуза $AB$) и отрезок $AK$:

$l = AB = \frac{BK}{\cos(30^{\circ})} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Отрезок $AK$ равен разности радиусов оснований: $AK = R - r$.

$R - r = AK = BK \cdot \tan(30^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Далее, по условию, диагональ осевого сечения $AC$ перпендикулярна образующей $CD$. Это означает, что треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ACD = 90^{\circ}$.

Чтобы найти стороны этого треугольника, сначала определим угол $\angle ADC$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей $CD$, высотой $CM$ (проведённой из точки $C$ на основание $AD$) и отрезком $MD$. В этом треугольнике $CM=h=6$ см, $CD=l=4\sqrt{3}$ см. Тогда:

$\sin(\angle ADC) = \frac{CM}{CD} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\angle ADC = 60^{\circ}$.

Теперь вернёмся к прямоугольному треугольнику $ACD$. В нём мы знаем катет $CD = 4\sqrt{3}$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle ADC = 60^{\circ}$. Гипотенуза $AD$ является диаметром большего основания конуса.

$AD = \frac{CD}{\cos(60^{\circ})} = \frac{4\sqrt{3}}{1/2} = 8\sqrt{3}$ см.

Тогда радиус большего основания $R = \frac{AD}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Зная $R$ и разность $R-r$, найдём радиус меньшего основания $r$:

$r = R - (R - r) = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R+r)l$.

Подставим найденные значения:

$S_{бок} = \pi(4\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) \cdot 4\sqrt{3} = \pi \cdot 6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = \pi \cdot (24 \cdot (\sqrt{3})^2) = \pi \cdot (24 \cdot 3) = 72\pi$ см².

Ответ: $72\pi$ см².